Integrable models with twist function and affine Gaudin models

Modèles intégrables avec fonction twist et modèles de Gaudin affines Cette thèse a pour sujet une classe de théories des champs intégrables appelées modèles avec fonction twist. Les principaux exemples de tels modèles sont les modèles sigma non-linéaires intégrables, tel le Modèle Principal Chiral, et leurs déformations. Un premier résultat obtenu est la preuve que le modèle dit de Bi-Yang-Baxter, qui est une déformation à deux paramètres du Modèle Principal Chiral, est lui aussi un modèle avec fonction twist. Il est ensuite montré que les déformations de type Yang-Baxter modifient certaines symétries globales du modèle non déformé en symétries de Poisson-Lie. Un autre chapitre concerne la construction d'une infinité de charges locales en involution pour tous les modèles sigma intégrables et leurs déformations : ce résultat repose sur le formalisme général partagé par tous ces modèles en tant que théories des champs avec fonction twist.La seconde partie de la thèse a pour sujet les modèles de Gaudin. Ceux-ci sont des modèles intégrables associés à des algèbres de Lie. En particulier, les théories des champs avec fonction twist sont liées aux modèles de Gaudin associés à des algèbres de Lie affines. Une approche standard pour l'étude du spectre des modèles de Gaudin quantiques sur des algèbres finies est celle de Feigin-Frenkel-Reshetikhin. Dans cette thèse, des généralisations de cette approche sont conjecturées, motivées et testées. L'une d'elles concerne les modèles de Gaudin finis dits cyclotomiques. La seconde porte sur les modèles de Gaudin associés à des algèbres affines.