M-quantile estimation and discriminant analysis for heteroscedastic processes

Estimation du M-quantile et analyse discriminante pour les processus hétéroscédastiques En s'appuyant sur des techniques dans les domaines temporel et fréquentiel, ce travail introduit l'estimateur M-quantile, qui combine les fonctions bien connues de régression quantile et de régression M afin de traiter des problèmes d'estimation de modèle et de discrimination, tels que la classification et la réduction de dimension, dans le contexte des séries temporelles présentant des propriétés de mémoire courte ou longue et une variance conditionnelle non constante (hétéroscédasticité). Ces phénomènes sont fréquents dans les problèmes concrets rencontrés dans de nombreux domaines scientifiques, en particulier dans les études sur la qualité de l'air, qui motivent les principales contributions de ce travail, tant sur le plan théorique qu'appliqué. Cette thèse est structurée en trois chapitres, dont les principales contributions sont les suivantes : Le chapitre 2 examine l'estimateur M-quantile dans une perspective temporelle, en introduisant la fonction de perte de Huber M-quantile afin de minimiser les erreurs d'estimation des processus. Cette approche constitue une méthode alternative d'estimation pour les données de séries temporelles, présentant des avantages par rapport aux méthodes classiques, telles que l'estimateur des moindres carrés conditionnels, qui peut être considéré comme un cas particulier de l'approche proposée. Certains aspects théoriques sont discutés, accompagnés de simulations et d'applications concrètes illustrant la pertinence de cette méthode dans des contextes réels. Les deuxième et troisième contributions principales sont présentées dans les chapitres 3 et 4, respectivement. Ces chapitres proposent le périodogramme M-quantile comme estimateur de la fonction spectrale, à utiliser dans une technique de discrimination construite à partir de la fonction cepstrale, adaptée aux processus à mémoire courte ou longue avec erreurs hétéroscédastiques. Les propriétés asymptotiques des fonctions discriminantes cepstrales M-quantile sont établies. Étant donné le caractère relativement novateur des approches proposées, y compris le périodogramme M-quantile, certaines propriétés asymptotiques de quantités échantillonnales ont été laissées pour des recherches ultérieures. Des simulations ont été réalisées pour évaluer les performances de la fonction discriminante M-quantile dans le cas d'échantillons de taille finie. Les résultats révèlent des observations intéressantes, notamment la supériorité de la fonction discriminante M-quantile par rapport à celle fondée sur le périodogramme cepstral, tant pour les processus à mémoire courte que longue, avec ou sans valeurs aberrantes additives et dans des contextes de distributions non gaussiennes. Afin de démontrer l'utilité de la méthodologie proposée dans des applications concrètes, de larges ensembles de données sur les concentrations de polluants PM₁₀ et PM₂.₅, issus de plus de 200 stations de surveillance de la qualité de l'air en France, ont été analysés. Les résultats empiriques ont montré des performances prometteuses en matière de classification des sources dans les deux cas, soutenant fortement l'utilisation de la fonction cepstrale M-quantile empirique dans des applications réelles telles que la classification, la réduction de dimension et la cointégration, entre autres.