Construction of high-frequency spacetimes

Construction d'espace-temps haute-fréquences Cette thèse s’intéresse à des solutions haute-fréquences aux équations de la relativité générale. Ces solutions permettent de décrire la propagation d’ondes gravitationnelles dans un contexte non-linéaire. Elles sont aussi un exemple de backreaction et contribuent ainsi à l’étude de la conjecture de Burnett.Les Chapitres 2 et 3 sont dédiés à la construction de solutions locales en temps haute-fréquences (gλ)λ aux équations d’Einstein dans le vide en jauge d’onde généralisée, approchant en un sens faible une métrique background g0 modélisant une poussière nulle. Les données initiales pour les équations d’Einstein devant vérifier les équations de contraintes, on construit des solutions haute-fréquences à ces équations sur R³ dans le Chapitre 2 en adaptant la méthode conforme, i.e en définissant ses paramètres par des ansatz haute-fréquences.Dans le Chapitre 3, on construit la famille (gλ)λ, qui est définie par un ansatz haute-fréquence. Pour la partie oscillante de l’ansatz, on identifie une hiérarchie d’équations de transport linéaires ainsi que des conditions de polarisations. Ces dernières sont propagées par les identités de Bianchi, et elles permettent de contrôler la création d’harmoniques grâce à la structure nulle polarisée faible des termes semi-linéaires. Le couplage avec l’équation d’onde quasi-linéaire pour le reste induit une perte de dérivée que l’on résout en utilisant le double feuilletage nul de la métrique background et en introduisant un cut-off en Fourier. On évite ainsi de construire le double feuilletage nul pour les métriques gλ .Le Chapitre 4 est dédié à l’étude en temps long d’une famille de solutions haute-fréquences à une équation d’onde semi-linéaire présentant une structure nulle. En se basant sur la méthode des champs de vecteurs, on montre l’existence globale de ces solutions.