Localisation de polymères en milieux aléatoires : obstacles de Bernoulli ou entrelacs aléatoires

Ce manuscrit a pour objet des modèles mathématiques de polymères placés en milieux aléatoires. La modélisation d'un tel système se fait à travers la mesure de polymère -- une transformation de Gibbs de la loi de la marche aléatoire simple sur Zd. Dans cette mesure, le hamiltonien quantifie l'énergie des configurations du polymère, leur apportant un coût énergétique complémentant leur coût entropique. Les modèles qui nous intéresseront sont ceux où le hamiltonien traduit l'interaction répulsive du polymère (de la marche aléatoire) avec un obstacle, lui-même pouvant être aléatoire. Pour un tel modèle, on dispose de deux mesures de polymère pertinentes : à environnement gelé (quenched) et à environnement moyenné (annealed). On considère dans une première partie un polymère en une dimension, que l'on place dans un champ d'obstacles de Bernoulli, c'est-à-dire que chaque site de Z a une probabilité donnée p d'être un obstacle, et ce indépendamment des autres sites. La mesure annealed d'un tel modèle est la marche aléatoire simple pénalisée par son volume, étudiée en dimension générale par Berestycki & Cerf (2021) et Ding et al. (2020). Ces travaux montrent un repliement du polymère dans une boule. On s'intéresse au cadre de la dimension une, ce qui permet d'obtenir des résultats d'une grande précision, notamment une limite d'échelle pour les extrémités du polymère ainsi que pour les fluctuations de sa taille. On identifie ainsi une transition de phase entre un régime à fluctuations gaussiennes et un régime sans fluctuation. On abordera ensuite une généralisation de ce modèle, en considérant que les probabilités p dépendent du site considéré. Lorsque ces paramètres sont i.i.d., on obtient une version désordonnée de la marche pénalisée par son volume. De nouveau, un travail antérieur (Berger et al. 2022) montre une limite d'échelle pour la taille du polymère. On montrera alors de nouveau une limite d'échelle pour les extrémités du polymère, ainsi que leurs fluctuations. La seconde partie du manuscrit s'intéresse à un polymère de longueur tN piégé dans un grand domaine DN ⊂ Zd, de taille typique N >>1. En le voyant comme une marche aléatoire piégée jusqu'à un temps tN, on se propose d'en étudier la géométrie de deux points de vue différents. Dans un premier temps, on s'intéressera à un point de vue "extérieur" en étudiant la capacité du polymère. La capacité est une fonctionnelle géométrique qui décrit à quel point un ensemble est "grand" pour une marche aléatoire simple "venant de l'infini". On montre alors un critère sur la longueur tN du polymère pour que sa capacité soit équivalente à celle de DN. Dans un second temps, on étudiera la géométrie du polymère à l'intérieur de DN. Le polymère peut être modélisé par la marche confinée dans DN, qui s'interprète comme la marche simple conditionnée à toujours rester dans DN. Il s'agit d'une marche sur les conductances cN(x,y) = φN (x)φN(y) ou φN est le premier vecteur propre de Dirichlet du laplacien discret DN. On montre que pour un sous-ensemble interne ΛN ⊂ DN, la trace de la marche confinée peut être couplée pour coïncider avec un entrelac modifié par les conductances tN sur ΛN. L'entrelac est un sous-ensemble aléatoire de Zd, introduit par Sznitman (2010) et généralisé par Teixeira (2009), qui peut se voir comme une soupe de trajectoires de marches aléatoires dont la densité est contrôlée par un paramètre u > 0. Pour montrer ce couplage, nous étudions les propriétés de φN dans un travail co-écrit avec Quentin Berger, et obtenons des résultats utiles indépendamment de notre travail sur la marche confinée. En application de ces deux travaux, on montre une asymptotique pour le temps de recouvrement de ΛN par la marche confinée.