Stratégies de calculs pour des problèmes thermiques basées sur la séparation de variables

Le travail présenté dans ce mémoire de thèse de doctorat propose des méthodes numériques de résolution d'équations aux dérivées partielles adaptées pour la caractérisation des sources de chaleur à partir de la résolution de problèmes inverses de conduction de la chaleur. La première partie du mémoire est une présentation des méthodes de réduction de modèle dans l'objectif de poser et comprendre les problématiques scientifiques traitées dans ce travail. Une étude bibliographie de la Proper Orthogonal Decomposition et de la Proper Generalized Decomposition (PGD) permet d'illustrer simplement la philosophie des méthodes de réduction de modèle. Une attention particulière est donnée à la Proper Generalized Decomposition, vu qu'elle est la méthode principalement utilisée dans ce travail. La seconde partie introduit une méthode appelée Z-PGD conçue pour traiter des méthodes dont on cherche seulement les caractéristiques spatiales des sources de chaleur. À partir d'une solution paramétrée construite avec la PGD correspondant à la température d'une structure dépendante de l'espace, du temps et de la position d'une source de chaleur ponctuelle dont sa position est prise comme variable, on reconstruit en utilisant le principe de superposition le champ de températures induit par des sources de chaleur de formes inconnues. Dans une troisième partie, on propose une méthode appelée Green-PGD pour traiter les problèmes inverses dont la forme spatiale et la dynamique temporelle de la source sont inconnues. La PGD est utilisée pour calculer une solution paramétrée d'une fonction de Green dont la position de la source de chaleur est paramétrée. La dernière partie du manuscrit traite plus particulièrement un problème impliquant un matériau composite. Une méthode hybride entre la Z-PGD et Green-PGD est proposée afin de contourner certaines difficultés techniques présentes dans la Green-PGD.