Even Clifford structures and Quantum Resonances

Structures de Clifford paires et résonances quantiques Ce manuscrit se compose de deux parties indépendantes. La première partie de cette thèse étudie les structures de Clifford paires. Pour une variété riemannienne munie d’une structure de Clifford paire, nous introduisons l’espace de twisteurs en généralisant la construction d’un tel espace dans le cas d’une variété quaternion-hermitienne. Nous construisons une structure presque-complexe sur l’espace de twisteurs et considérons son intégrabilité lorsque la structure de Clifford est parallèle. Dans certains cas, nous pouvons aussi le fournir d’une métriquekählerienne ou, correspondant à une structure presque-complexe alternative, d’une métrique “nearly Kähler”. Dans un second temps, nous introduisons une structure appelée Clifford-Weyl sur une variété conforme. Il s’agit d’une structure de Clifford paireq ui est parallèle par rapport au produit tensoriel d’une connexion métrique sur le fibré de Clifford et une connexion de Weyl. Nous démontrons que la connexion de Weyl est fermée sauf dans certains cas génériques de basse dimension où nous arrivons à décrire des exemples explicites où les structures de Clifford-Weyl sont non-fermées. La seconde partie de cette thèse étudie des résonances quantiques. Au-dessus d’une variété asymptotiquement hyperbolique paire, nous considérons le laplacien de Lichnerowicz agissant sur les sections du fibré des formes multilinéaires symétriques.Lorsqu’il s’agit de formes bilinéaires symétriques, nous obtenonsune extension méromorphe de la résolvante dudit laplacien à l’ensemble du plan complexe si la variété est Einstein. Cela définit les résonances quantiques pour ce laplacien. Pour les formes multilinéaires symétriques en général, une telle extension méromorphe est possible si la variété est convexe-cocompacte. Dans les deux cas, nous devons restreindre le laplacien aux sections qui sont de trace et de divergence nulles. Nous utilisons ce deuxième résultat afin d’établir une correspondance classique-quantique pour les variétés hyperboliques convexescocompactes.La correspondance identifie le spectre du flot géodésique (les résonances de Ruelle) avec les spectres des laplaciens agissant sur les tenseurs symétriques qui sont de trace et de divergence nulles (les résonances quantiques).