Prévention et assurance : contributions aux approches actuarielle, cognitive et dynamique

Cette thèse de doctorat porte sur la modélisation de l’effort de prévention et de sa relation avec l’assurance de marché. Chacun des chapitres la composant, tente de capturer différents aspects de cette problématique, de l’étude d’un critère conforme aux pratiques actuarielles à celui du côté de l’offre en assurance, en passant par l’inclusion de biais de perception du risque et par une approche de la prévention en temps dynamique. Le chapitre 1 modélise la relation entre un assureur et un assuré sous la forme d’un jeu de Stackelberg. Dans ce jeu, l’assureur joue en premier en proposant un contrat d’assurance sous la forme d’un facteur de chargement. L’assuré joue ensuite en choisissant le taux de couverture et son effort de prévention optimaux. L’assuré comme l’assureur ont pour but de minimiser leurs mesures de risque respectives qui sont toutes deux cohérentes. Les effets respectifs de l’auto-assurance et l’auto-protection, sur la minimisation du risque seront étudiés. Dans chaque cas, il sera montré que les choix optimaux de l’assuré existent et le contrat optimal pour l’assureur sera caractérisé. De plus, il sera montré que si la mesure de risque de l’agent décroit plus rapidement que l’espérance de sa perte, alors l’effort optimal est croissant avec le facteur de chargement avec une discontinuité potentielle lorsque la couverture optimale passe de complète à nulle. Cependant, dans le cas contraire l’effort optimal peut être croissant ou décroissante en fonction du facteur de chargement. Le chapitre 2 étudie la relation entre auto-assurance et assurance de marché également sous la forme d’un problème d’optimisation pour un agent. De manière similaire au chapitre 1, cet agent doit déterminer le taux de couverture et l’effort de prévention qui réduiront de manière optimale sa mesure de risque. La mesure de risque considérée est dite de distorsion et est définie à partir d’une fonction de distorsion non concave. Ceci permet de tenir compte de biais cognitifs individuels potentiels dans la perception du risque. La caractérisation de la solution optimale pour l’agent permet d’apporter une nouvelle conclusion dans la relation entre auto-assurance et assurance de marché. L’auto-assurance n’est plus seulement substituable à l’assurance de marché, elle peut être également complémentaire à celle-ci, suivant la sensibilité de l’effort de prévention au prix de l’assurance. Le chapitre 3 se concentre sur l’auto-protection en proposant un problème de maximisation d’utilité espérée en version dynamique. Ceci se présente sous forme d’un problème de contrôle stochastique dans lequel l’agent choisit sa couverture assurantielle et son effort de prévention qui est dynamique. Le problème peut être séparé en deux sous-problèmes, le premier est une optimisation en l’effort et le second en la couverture assurantielle. Comme l’individu veut obtenir la richesse finale la plus importante possible, il cherche à maximiser l’espérance de l’utilité exponentielle de cette richesse. La richesse de l’agent peut être vue comme la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde à saut, cette équation admet une unique solution et qui est de plus explicite. En particulier, on obtient que l’effort optimal d’auto- protection est constant. La distribution initiale du processus de perte, quand il n’y a pas d’effort, est donnée par un processus de Poisson composé qui est notamment un processus de Lévy. Obtenir un effort optimal constant signifie donc que la propriété de Lévy des processus est préservée par la maximisation d’une espérance d’utilité exponentielle. L’analyse du problème en la couverture assurantielle donne une condition suffisante pour obtenir l’existence d’un niveau de couverture optimal. L’individu pourra alors souscrire à une assurance en fournissant un effort de prévention qui lui permettra de maximiser sa satisfaction ou bien choisir de ne pas souscrire au contrat mais en prenant toutefois part à des actions d’auto-protection