Derivation and analysis of reduced models for type-I superconductors

Dérivation et analyse de modèles réduits pour les superconducteurs de type-I L'objectif de cette thèse est l'étude de modèles réduits pour les supraconducteurs de type-I. Elle se concentre à la fois sur la dérivation rigoureuse de ces modèles et sur l'étude des propriétés qualitatives de leurs minimiseurs. Les supraconducteurs sont des matériaux qui, en dessous d'une température critique, présentent une perte soudaine de résistivité et expulsent les champs magnétiques. Nous nous concentrons sur le modèle de Ginzburg-Landau pour les supraconducteurs de type-I. Ces matériaux, lorsqu'ils sont soumis à un champ magnétique externe, montrent l'apparition de motifs complexes, ce qui suggère la présence de motifs de ramification à l'intérieur de l'échantillon. D'un point de vue mathématique, la présence de ramifications a d'abord été étudiée sous la forme de lois d'échelle, et deux régimes ont été distingués. Un régime de ramification uniforme, où le champ magnétique se répartit uniformément à la frontière de l'échantillon, et un régime de ramification non uniforme, où le champ magnétique s'écarte de l'uniformité à la frontière. Au coeur du premier régime et pour un paramètre de Ginzburg-Landau κ tendant vers zéro, Conti, Goldman, Otto et Serfaty ont dérivé un modèle réduit pour la magnetization (dans le sens de la T-convergence). Le modèle résultant est un problème de transport optimal branché non standard, dans lequel le champ magnétique se concentre sur une structure arborescente unidimensionnelle, qui s'affine vers la frontière pour satisfaire aux conditions de bord uniformes. Ce manuscrit est divisé en cinq chapitres, le premier servant d'introduction. Les quatre derniers chapitres contiennent les contributions originales de cette thèse. Dans le deuxième chapitre, nous étendons les résultats de Conti, Goldman, Otto et Serfaty au régime de croisement (crossover) entre branchement uniforme et non-uniforme, en prouvant la T-convergence de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau pour un problème de transport branché avec des conditions aux limites faiblement imposées Dans le troisième chapitre, nous considérons une fonction non standard de type Modica-Mortola en 2D, qui découle de la fonction de Ginzburg-Landau dans le régime où la longueur de pénétration et la longueur de cohérence sont comparables. Nous prouvons que la functionelle Γ-converge vers la fonctionelle de périmètre. Dans le quatrième chapitre, nous étudions le problème de transport branché dérivé dans le chapitre 1, pour lequel Conti, Otto et Serfaty ont conjecturé que la dimension de la mesure limite n'est pas entière. Nous prouvons cette conjecture dans un cadre simplifié en 2D, sous l'hypothèse (forte) de Ahlfors régularité de la mesure irriguée. Enfin, dans le dernier chapitre, nous étudions la fonctionnelle obtenue au chapitre 1 dans le cas où l'échantillon est un demi-plan. Nous étendons une partie des résultats du chapitre 3 à cette fonctionnelle 3D. En particulier, nous prouvons que la mesure limite ne peut pas être une fonction bornée absolument continue.