Efficient algorithms for creative telescoping using reductions

Algorithmes efficaces pour le télescopage créatif utilisant des réductions Le télescopage créatif est une méthode algorithmique introduite par Zeilberger pour calculer des équations fonctionnelles linéaires satisfaites par des sommes et des intégrales à paramètres. Initialement développée pour les sommes de fonctions hypergéométriques et les intégrales de fonctions hyperexponentielles, cette méthode a depuis été étendue à des classes de fonctions plus larges tels que les fonctions ∂-finies et holonomes. Au cours des dernières années, une nouvelle génération d'algorithmes de téléscopage créatif, basée sur les réductions a vu le jour afin de remédier à des problèmes d'efficacités inhérents aux approches précédentes. Cette thèse s'inscrit dans cette lignée en introduisant deux nouveaux algorithmes basés sur des réductions. Le premier est conçu pour calculer des sommes univariées de fonctions ∂-finies, et le second pour calculer des intégrales multivariées de fonctions holonomes.Les algorithmes de téléscopage créatif reposent surla connaissance d'un nombre suffisant d'équations fonctionnelles linéaires satisfaites par la fonction f à sommer ou intégrer. Ces équations sont représentées par un idéal à gauche dans une algèbre d'opérateurs, appelé annulateur de f. Pour les fonctions ∂-finies, cet idéal appartient à une algèbre d'Ore, tandis que pour les fonctions holonomes, il se trouve dans une algèbre de Weyl. Dans le cas ∂-fini, les annulateurs sont en général faciles à calculer. En revanche, dans le cas holonome ce problème est considérablement plus difficile. Lorsqu'une fonction est à la fois ∂-finie et holonome, une approche pour calculer son annulateur holonome consiste à déterminer son annulateur ∂-fini puis à effectuer une opération appelée clôture de Weyl. Bien qu'un algorithme permettant de calculer cette clôture de Weyl existe, il se révèle peu efficace en pratique. Cette thèse introduit un nouvel algorithme pour calculer une approximation holonome de la clôture de Weyl d'un idéal à gauche d'une algèbre de Weyl.