Kinetic models for magnetized plasmas

Modèles cinétiques pour les plasmas magnétisés Cette thèse est consacrée à l’étude de modèles cinétiques qui décrivent des plasmas sans collisions soumis à un champ magnétique externe. Dans une première partie, nous nous intéressons aux plasmas électrostatiques soumis à un champ magnétique externe constant, où l’on constate que certaines ondes ne sont pas amorties. Ce phénomène, qui ne dépend pas de l’intensité du champ magnétique, est connu sous le nom de paradoxe de Bernstein–Landau, car il met en évidence une discontinuité avec la théorie des plasmas non magnétisés, où les ondes longitudinales de charge d’espace, dont le champ électrique, sont amorties. Habituellement, ces propriétés physiques sont étudiées en considérant le système de Vlasov–Poisson linéarisé. Dans ce travail, nous parvenons à réinterpréter le paradoxe de Bernstein–Landau en reformulant ce système comme une équation de type Schrödinger, ce qui nous amène à considérer le système de Vlasov–Ampère magnétisé. Grâce à cette reformulation, nous expliquons le paradoxe de Bernstein–Landau par rapport au spectre d’un certain opérateur auto-adjoint associé à Vlasov–Ampère magnétisé. Enfin, nous construisons des schémas semi-Lagrangiens pour tester les vecteurs propres de l’opérateur Vlasov–Ampère magnétisé. Dans une deuxième partie, nous étudions certaines propriétés mathématiques du système de Vlasov–Poisson magnétisé, en nous concentrant d’abord sur la propagation des moments en vitesse pour les solutions faibles. Dans le cas d’un champ magnétique constant, nous utilisons une approche eulérienne afin de contrôler directement les moments en vitesse. La présence d’un champ magnétique génère des singularités aux multiples de la période cyclotron. Dans le cas d’un champ magnétique quelconque, nous utilisons une méthode lagrangienne en étudiant cette fois les caractéristiques du système pour obtenir des estimations a priori qui impliquent la propagation des moments. Une contribution originale de ce travail est que, afin de démontrer la propagation de moments pour tout temps dans les deux cas, on utilise un raisonnement par récurrence impliquant la période cyclotron. Enfin, nous mettons en évidence de nouvelles conditions d’unicité pour les solutions du système de Vlasov–Poisson magnétisé avec des hypothèses supplémentaires sur les moments en vitesse.