L'opérateur de Laplace-Beltrami et ses applications au traitement de géométrie discrète

L'opérateur de Laplace-Beltrami, utilisés dans de nombreuses EDP telles que l'équation de la chaleur ou l'équation des ondes, a été discrétisé très tôt à l'aide de réseau éléctriques afin d'approximer des solutions de ces EDP. Ici, nous nous concentrons sur ses usages en traitement de géométrie, où l'on utilise des outils et des concepts mathématiques afin de manipuler des objets 3D comme des maillages surfaciques, des maillages volumiques ou des nuages de points. Dans ce champs de recherche, l'opérateur de Laplace-Beltrami fait partie des objets mathématiques les plus employés, avec des applications dans de nombreuses méthodes telle que le lissage de surface, la compression de maillage, l'approximation de géodésiques, la déscription de formes et la correspondance de formes.Étant donné que nous travaillons sur des objets discret (et, dans le cadre de cette thèse, des surfaces digitales spécifiquement), il nous faut une version discrète de l'opérateur de Laplace-Beltrami. La discrétisation de cette opérateur présente plusieurs difficultés. Idéalement, l'opérateur approxime son équivalent lisse: si l'on augmente la résolution de la surface, les résultats obtenus avec l'opérateur discret devraient approcher ceux de l'opérateur lisse.Notre travail se concentre sur les surfaces digitales. Ces surfaces se trouvent en géométrie digital, où l'on travail sur des sous-ensemble de Z^3. Alors que dans les cas des surfaces triangulaires des normales non convergentes correspond à un cas pathologique, ici c'est l'inverse: on peut généralement supposer que les normales ne convergent pas. Il en résulte que pour des estimateurs de quantités simple telles que la longueur ou l'aire, obtenir des garanties de convergence n'est pas simple, mais pas impossible non plus: des estimateurs convergents existent bien pour ces quantités ainsi que pour les normales et la courbure.Notre but est d'utiliser ces estimateurs afin de développer des méthodes d'analyse pour les surfaces digitales qui se comportent autant que possible comme dans le cas lisse. De telles méthodes ont déjà été développées, et ont même des garanties de convergence pour l'opérateur de Laplace-Beltrami: elles sont cependant lentes à construire et produisent des opérateurs denses et donc occupant beaucoup de mémoire et prenant du temps à inverse. Nous souhaitons donc développer des opérateurs sparses qui peuvent, à l'opposer des opérateurs denses, rapidement être construits et facilement inversés.Nous proposons plusieurs adaptations de méthodes existantes pour des géométrie équipées d'un champ de normal additionel. Nous vérifions que ces méthodes se comportent comme voulu. Nous utilisons aussi ces méthodes afin de construire un opérateur de Laplace-Beltrami que l'on utilise dans une méthode de régularisation des surfaces digitales.Nous étudions également l'adaptions de fonctionnelles d'Ambrosio-Tortorelli afin de produire des UV maps. Les UV maps sont des applatissement en 2d de surfaces 3d, principalement utilisées afin d'appliquer des textures (stockées sous forme d'images) sur une surface, avec des discontinuités désignées en tant que coupures. Lors de la construction de UV maps, le but est de minimiser la distorsion de la parametrisation tout en minimisant également la longueur des coupures. Minimiser la distorsion permet d'éviter d'avoir des triangles dont les répresentations dans le plan sont à des échelles différentes et requiert donc des résolutions dimages différentes, et permet également les modifications faites dirèctement sur la texture à correspondre à la modification résultante sur la surface. On veut également éviter d'avoir trop de longueur de coupure, qui permettent certe des réduire la distorsion mais rende la texture plus dure à manipuler. En optimisant nos version adaptées de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli, on obtient une optimisation simultanée de la distorsion et des coupures de la parametrisation.