Smoothing and cancellation : the Barban-Vehov sieve made explicit

Lissage et compensation : une version explicite du crible de Barban-Vehov Considérons la somme du type crible de Selberg ∑m≤X(∑d|m μ(d)·ρd)2, où d→ρd est un poids pour la somme ∑d|nμ(d). On étudie les poids logarithmiques et ceux de Barban-Vehov, définis respectivement comme L:d→log+(U/d), U>1, V:d→log+(U1/d)−log+(U0/d), 1≤U0<U1, où log+(x)= max{log(x),0}. V et L furent étudiés par Barban et Vehov (1968) et Motohashi (1974); une formule asymptotique non-explicite de premier ordre pour la somme de Selberg correspondante à ces poids fut obtenue dans les années 70 par Graham, en montrant, lorsqu’on se ramène à L, un terme d’ordre principal identique à celui du crible de Selberg. Le problème d’étudier la formule asymptotique des sommes de Selberg pour L et V de façon explicite ainsi que l’obtention des termes d’ordre secondaire est resté ouvert et on avait conjecturé que ces termes secondaires étaient en effet négatifs, de manière telle qu’on trouve une contribution négative pour le crible. Dans cette thèse, en utilisant des nouvelles techniques et quelques idées de H. Helfgott et O.Ramaré, nous obtenons explicitement, et sous toutes conditions de coprimalité, le terme d’ordre secondaire pour les expressions asymptotiques données par L et V, lesquelles, dans le cas d'intérêt, v ∈ {1, 2}, confirment sa nature conjecturée: il s’agit de termes négatifs. Étant un objet très proche à ces poids, on découvre aussi que ∑d,e,(de,v)=1 μ(d)μ(e)/[d,e] · LdLe ~ v/φ(v) · log(U) - sv,où s1 = 0.607…, s2 = 1.472… . Le fait d’avoir une erreur explicite et un terme secondaire négatif permet une transition, sous quelques conditions modérées, d’un résultat purement asymptotique à une vraie inégalité, entrouvant donc compensation par rapport au terme principal. Nous en déduisons ainsi un résultat explicit du type crible, en donnant un rang infini et ample de valeurs U0, U1 telles que ∑m≤X( ∑d|mμ(d)·Vd / log(U1/U0))2< X / log(U1/U0) - cv · X / log2(U1/U0), pour une constante positive cv explicitement définie.