Arithmetical properties of combinatorics theorems.

Propriétés arithmétiques de théorèmes combinatoires. La première partie de ce document présente l'état de l'art en matière de mathématiques à rebours, plus précisément en ce qui concerne les méthodes de construction par forcing pour prouver la séparation d'énoncés de type Ramsey. On y fait d'abord un bref rappel de notions de calculabilité, en prenant ensuite plus de temps pour introduire la notion de forcing. Enfin, on parlera en détails du projet des mathématiques à rebours et des techniques employées pour du contrôle du premier et du second jump d'ensemble dans le cadre du principe des tiroirs. Le premier sujet d'étude de ma thèse a été le théorème d' ErdH{o}s-Möser. C'est un énoncé concernant les tournois infinis, promettant l'existence d'un sous-tournoi infini transitif. Il peut être vu comme une variante du théorème de Ramsey, et en tant que tel, il apporte son lot de curiosités pour les mathématiques à rebours. On étudie sa faiblesse, c'est à dire à quel point il est facile de trouver des solutions à ce théorème en imposant des contraintes de calculabilité sur ses solutions. Le second sujet d'étude de ma thèse a été le principe des tiroirs, qui est en fait le théorème de Ramsey pour les paires. Le principe des tiroirs nous dit que si on a plus de chaussettes que de tiroirs, alors pour toutes les ranger, un tiroir contiendra plusieurs chaussettes. Plus formellement, étant donné un ensemble $A$, il existe un ensemble infini soit inclus dans $A$ soit disjoint de $A$. Comme pour ErdH{o}s-Möser, vient ensuite la question de la complexité calculatoire d'un tel ensemble, selon la complexité de $A$.La dernière partie de ma thèse porte sur ce qui a été appelé les qt{Ramsey-like theorems}. C'est une généralisation du théorème de Ramsey, qui demande à l'ensemble homogène construit d'éviter des motifs finis. Selon des propriétés syntaxiques simples sur les motifs finis, on peut déduire des résultats forts sur la puissance du théorème de Ramsey associé, aux yeux des mathématiques à rebours.