Long time behaviour of kinetic equations

Comportement à long terme des équations cinétiques Cette thèse est consacrée au comportement à long terme de l'équation cinétique de Fokker-Planck et de l'équation de McKean-Vlasov. Le manuscrit est composé d'une introduction et de six chapitres. L'équation cinétique de Fokker-Planck est un exemple de base de la théorie de l'hypocoercivité de Villani qui affirme la décroissance exponentielle dans le temps en l'absence de coercivité. Dans son mémoire AMS, Villani a prouvé l'hypocoercivité de l'équation cinétique de Fokker-Planck en H^1(\mu), L^2(\mu) ou entropie. Cependant, une condition sur la bornitude de l'Hessien de l'hamiltonien a été imposée dans le cas entropique. Nous montrons au chapitre 2 comment nous pouvons affaiblir cette hypothèse par des multiplicateurs bien choisis à l'aide d'une inégalité de Sobolev logarithmique pondérée. Nous montrons que nos conditions sont satisfaites sous certaines conditions pratiques de fonction de Lyapunov.Dans le chapitre 4, nous appliquons les idées de Villani et certaines conditions de Lyapunov pour prouver l'hypocoercivité en H^1 pondéré dans le cas d'une interaction de champ moyen avec un taux de convergence exponentielle indépendant du nombre de particules. Pour cet objectif nous devons établir l'inégalité de Poincaré uniforme (sur le nombre de particules) et rendre une estimation connue de Villani qui était dimension-dépendante, dimension-indépendante.Au chapitre 6, nous étudions la contraction hypocoercive de la distance L^2-Wasserstein et nous retrouvons le taux optimal dans le cas du potentiel quadratique. La méthode est basée sur la dérivée en temps de la distance de Wasserstein. Au chapitre 7, le théorème d'hypoercivité de Villani dans l'espace H^1 pondéré est généralisé aux espaces H^k pondérés par une norm auxiliaire avec des termes mélangés bien choisis.L'équation de McKean-Vlasov est une équation diffusive non linéaire non locale. Il est bien connu qu'il a une structure de gradient-flot. Cependant, les résultats connus dépendent fortement des hypothèses de convexité. De telles hypothèses sont notamment assouplies dans les chapitres 3 et 5 où nous prouvons la convergence exponentielle vers l'équilibre respectivement en énergie libre et la distance L^1-Wasserstain, sous la condition de Dobrushin-Zegarlinski de l'absence de phase de transition. Notre approche est basée sur la théorie de la limite de champ moyen. Autrement dit, nous étudions le système d'un grand nombre de particules avec une interaction du type champ-moyen, puis passons à la limite par la propagation de chaos.