Mathematical study of degenerate Cahn-Hilliard equations

Étude mathématique d’équations de type Cahn-Hilliard dégénérées Nous étudions des équations de type Cahn-Hilliard, équation qui fut introduite pour décrire la séparation de phases dans les systèmes multi-composants. Les résultats obtenus dans ce travail ont été motivés par des applications biologiques, notamment la formation de tissus et la croissance de tumeurs, ainsi que par des applications physiques, tels que les écoulements de fluides impliquant des phénomènes de tension de surface. La première partie de cette thèse est une analyse de la relation entre l'équation de Cahn-Hilliard et les modèles Hele-Shaw, qui sont fréquemment utilisés pour modéliser l'écoulement des fluides ou l'évolution de tumeurs cancéreuses dans des espaces confinés. Nous examinons en particulier comment obtenir les modèles Hele-Shaw dans la limite dite incompressible de l'équation de Cahn-Hilliard. La deuxième partie de la thèse se concentre sur l'étude de l'équation de Cahn-Hilliard non-locale (et ses variations) et sa convergence vers l'équation locale. Cette équation, qui peut être dérivée rigoureusement à partir d'un système de particules en interaction, est obtenue en remplaçant le laplacien, qui est un terme local, par une approximation non-locale prenant en compte les interactions à longue distance entre les composants. Nous montrons que la solution de l'équation non-locale converge vers la solution de l'équation locale dans la limite d'interaction à courte distance. La troisième partie de la thèse se penche sur l'étude des modèles de fluides plus classiques, tels que les équations d'Euler et de Navier-Stokes, qui intègrent des phénomènes de tension de surface. Ces modèles sont utilisés pour décrire les écoulements de fluides ou les mouvements de cellules dans lesquels les forces interfaciales jouent un rôle important. La quatrième partie juxtapose la théorie cinétique, traditionnellement employée pour la représentation de phénomènes physiques à une échelle mésoscopique, avec l'équation de Cahn-Hilliard. Notre étude se concentre spécifiquement sur l'équation de Vlasov-Cahn-Hilliard, qui décrit les processus de transition de phase.