Design of exact solutions for the manufacturing of "vias" using DSA technology

Conception de solutions exactes pour la fabrication de "vias" en utilisant la technologie DSA Maitriser les coûts de fabrication des circuits intégrés tout en augmentant leur densité est d'une importance primordiale pour maintenir une certaine rentabilité dans l’industrie du semi-conducteur. Parmi les différents composants d’un circuit, nous nous intéressons aux connections verticales et métalliques, connues sous le nom de « vias ». Durant la fabrication, un processus de lithographie complexe est utilisé pour former une disposition de vias est formée sur une plaque de silicium, à l’aide d’un un masque optique. Pour des raisons de fabrication, une distance minimum entre les vias doit être respectée. Lorsque cette distance n’est pas respectée, nous parlons de « conflit ». Afin de supprimer ces conflits, l’industrie utilise une technique qui permet de décomposer une disposition de vias cible en plusieurs sous-ensembles, où les contraintes de distance minimum sont respectées : la formation des sous-ensembles individuels se fait en séquence sur la plaque de silicium en utilisant un masque optique par sous-ensemble. Cette technique est appelée Multiple Patterning (MP). Il y a de nombreuses façons de décomposer une disposition de vias et le but est d’assigner les vias à un nombre minimum de masques, car les masques sont coûteux. Minimiser le nombre de masques est équivalent à minimiser le nombre de couleurs dans un graphe disque unitaire. Ce problème est NP-difficile, mais un certain nombre de « bonnes » heuristiques existent. Une technique récente et prometteuse basée sur l’auto-assemblage et direction des molécules, aussi connue sous le nom Directed Self Assembly (DSA), permet de grouper les vias en conflits à condition de respecter certaines contraintes. L’objectif est de trouver la meilleure façon de grouper les vias afin de minimiser le nombre de masques tout en respectant les contraintes liées à DSA. Ce problème est un problème de coloration de graphes où les sommets de chaque couleurs définissent un ensemble de chemins « indépendants » de longueurs au plus k que nous appelons aussi le problème de coloration par k-chemins. Durant la modélisation, nous avons distingué deux problèmes de coloration par k-chemins pertinents: le problème général et le problème induit. Les deux problèmes sont connus pour être NP-difficile, ce qui explique l’utilisation d’heuristiques dans l’industrie pour trouver une décomposition valide en sous-ensembles. Dans cette étude, nous nous intéressons à des méthodes exactes afin de concevoir des solutions optimales et d’évaluer la qualité de l’heuristique développée en industrie (chez Mentor Graphics). Nous présentons différentes méthodes: une approche par programmation linéaire en nombre entier (ILP) où nous étudions plusieurs formulations, une approche par programmation dynamique pour résoudre le cas induit quand k=1 ou k=2 et lorsque les graphes ont une petite longueur arborescente ; enfin, nous étudions le cas particulier des graphes lignes. Les résultats des différentes études numériques montrent que les formulations ILP « naïves » sont les meilleures. Elles listent tous les chemins possibles de longueur au plus k. Les tests sur des données industrielles ayant au plus 2000 sommets (plus grande composante connexe parmi celles qui constituent une instance) ont montré que les deux problèmes, général et induit, sont résolus en moins de 6 secondes, pour k=1 et k=2. La programmation dynamique, appliquée au problème induit de coloration par k-chemins quand k=1 et k=2, montre des résultats équivalents à ceux de la formulation ILP naïve. Cependant, nous nous attendons à de meilleurs résultats par programmation dynamique quand la valeur de k augmente. Enfin, nous montrons qu’un cas particuliers des graphes lignes peut être résolu en temps polynomial en exploitant les propriétés de l’algorithme d'Edmonds et des couplages dans les graphes bipartis.