Mabuchi Geometry of the Spaces of Kähler and Sasaki Potentials

Géométrie de Mabuchi de l'espace des potentiels de Kähler et Sasaki Ce travail a pour but d’étudier les aspects géométriques de la géométrie de Mabuchi sur les espaces de potentiels de Kähler et de Sasaki. Nous étudierons notamment la courbure de la métrique de Mabuchi, les isométries entre espaces de potentiels et la quantification des géodésiques entre potentiels. Nous prouvons que l’espace des potentiels de Sasaki est courbé négative- ment au sens d’Alexandrov. Ceci étend un résultat de T. Darvas qui a identifié le complété métrique de l’espace des potentiels de Kähler et a montré que cet espace métrique est courbé négativement. Étant données deux variétés de Kähler X1 et X2, L. Lempert a récemment démontré que si leurs espaces de potentiels sont isométriques pour la métrique de Mabuchi alors X1 et X2 doivent être difféomorphes. Nous montrons qu’un tel résultat ne tient plus pour des variétés de Sasaki. Par ailleurs, concernant des variétés de Sasaki régulières M1 et M2, nous prouvons que si leurs espaces de potentiels sont isométriques, alors M1 et M2 doivent avoir, entre autre, le même revêtement universel. Enfin, sans cette hypothèse de régularité, nous étudions les conséquencences de l’existence d’une isométrie affine pour la métrique de Mabuchi. Nous montrons alors que les structures de Sasaki sur M1 et M2 doivent être transversalement isospectrales. Les espaces de potentiels (avec leur métrique de Mabuchi) sont des variétés riemanniennes de dimension infinie et selon une conjecture de S. Donaldson, la géométrie de Mabuchi devrait être approchée par des espaces riemannien symétriques de dimension finie. C’est un procédé de quantification qui fait intervenir une application nommée FSk. Nous prouvons que cette application est uniformément lipschitzienne. De plus, nous étudions dans quelle mesure l’image par FSk de géodésiques est proche de géodésiques entre potentiels de Kähler. Enfin, nous étendons le procédé de quantification des géodésiques de B. Berndtsson à des variétés de Kähler singulières avec une application aux géodésiques entre potentiels de Sasaki.