Computability of Topological Spaces

Calculabilité des espaces topologiques L'objectif principal de cette thèse est d'examiner le concept de "type calculable" et d'améliorer notre compréhension globale de cette notion, ainsi que de fournir des techniques pour vérifier ou réfuter cette propriété. Un espace métrisable compact est dit de type calculable si pour tout ensemble homéomorphe à cet espace, semi-calculabilité et calculabilité sont équivalentes. Cette étude s'appuie sur les travaux de Miller, qui a démontré que les sphères de dimension finie sont de type calculable, ainsi que sur les travaux d'Iljazović et d'autres auteurs, qui ont étendu cette propriété à divers espaces tels que les variétés compactes. Pour commencer, nous établissons l'équivalence entre deux définitions distinctes de type calculable présentes dans la littérature, impliquant respectivement des espaces métriques et des espaces de Hausdorff. Nous soutenons que la version relativisée et plus forte du type calculable présente des propriétés plus favorables et se prête bien à l'analyse topologique. Nous obtenons ainsi des caractérisations du "type calculable fort" de nature purement topologiques, et en lien avec la complexité descriptive des invariants topologiques. Cela nous amène naturellement à notre deuxième objectif, l'étude du pouvoir expressif des invariants topologiques de faible complexité descriptive et de leur capacité à distinguer des espaces différents. Plus précisément, nous étudions deux familles d'invariants topologiques de faible complexité qui capturent l'extensibilité et la trivialité homotopique des fonctions continues. En utilisant ce cadre, nous revisitons les résultats précédents sur le type calculable et découvrons de nouvelles perspectives. Notamment, nous identifions la complexité du problème de séparation des graphes topologiques finis. Enfin, notre troisième objectif se concentre sur l'application de la théorie de l'homologie à l'étude de ce que nous appelons la "propriété de surjection", qui caractérise la propriété de type calculable. Par exemple, nous prouvons qu'un complexe simplicial fini est de type calculable (fort) si et seulement si l'étoile de chaque sommet satisfait la propriété de surjection. De plus, la réduction à l'homologie implique que la propriété de type calculable est décidable pour les complexes simpliciaux finis de dimension au plus 4.