Problèmes variationnels pour l'interpolation dans l’espace de Wasserstein

Cette thèse étudie des problèmes variationnels comprenant plusieurs fonctionnelles de transport optimal. Un exemple populaire est le barycentre Wasserstein qui peut être vu en tant que moyenne dans l'espace de Wasserstein d'ordre 2. Depuis son introduction en 2011 de Agueh et Carlier, il est devenu très populaire en statistiques, machine learning et traitement des images. Bien que la consistance du barycentre Wasserstein soit désormais bien connue, une étude plus precise des taux de convergences nécessite encore une analyse supplémentaire. Nous faisons un pas dans cette direction en montrant une théorème centrale limite pour une version régularisée du barycentre Wasserstein qui a été introduite par Bigot, Cazelles et Papadakis en 2019.Même si le barycentre Wasserstein fournit déjà un bon estimateur statistique, ce n'est pas toujours un estimateur robuste car son breakdown point est bas. Cela nous a motivé d'étudier la médiane Wasserstein, la solution du problème de minimisation des sommes des distances de Wasserstein d'ordre 1. En effet, le breakdown point de la médiane Wasserstein s'avère être plus grand. Cependant, des propriétés de régularité de cet estimateur sont plus subtiles. Néanmoins, nous fournissons une caractérisation détaillée et des estimations d'intégrabilité dans le cas où les mesures sont supportées sur la droite réelle. Dans le cadre général des espaces métriques, des formulations duales et multimarginales équivalentes sont présentées. Nous donnons aussi une caractérisation d'EDP des médianes Wasserstein sur des espaces euclidiens.Motivé par un contexte différent, pourtant donnant une classe similaire des problèmes d'optimisation, est le problème d'emplacement de stationnement optimal. Ceci consiste de trouver une mesure optimale sous des contraintes supplémentaires, comme l'emplacement ou une contrainte de capacité, entre deux mesures, prenant en compte des différents types de coûts de transport. Dans ce cadre, nous démontrons des propriétés de régularité pour plusieurs classes du coût de transport. Finalement, nous fournissons un algorithme numérique afin de simuler des distributions de stationnement optimal en introduisant un terme de régularisation entropique et en déduisant une variante du célèbre algorithme du Sinkhorn.