Systèmes totaux de fonctions harmoniques

L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien R m (m≥2) le point courant x à distance |x| de l’origine, un compact E et la fonction harmonique fondamentale h(x) valant -log|x| (m=2) ou |x| 2-m (m>2). Si H n est tout polynôme harmonique homogène de degré n, on poseΦna(x)=Hn(x-a)|x-a|2n+m-2(n≥1),Φ0a(x)=H0h(x-a)(H0=C te )et Φ n ∞ (x)=H n (x) (n≥0). L’auteur caractérise de diverses manières la variété linéaire ℳ des distributions de masse sur E dont le potentiel est nul sur CE ; il montre essentiellement que les fonctions finies continues sur la frontière E * de E orthogonales à ℳ constituent la variété linéaire fermée engendrée par les Φ n a p où a 0 a 1 ...a p ... sont des points choisis respectivement dans les domaines composant CE. Il s’ensuit que les Φ n a p forment un système total dans l’espace des fonctions finies continues sur E * , si et seulement si CE n’est effilé en aucun point-frontière. Compléments divers.