Algebraic Area of Lattice Random Walks and Exclusion Statistics

Aire algébrique de marches aléatoires et statistique d'exclusion La thèse se concentre sur l'énumération de marches aléatoires fermées sur réseau avec une aire algébrique donnée, en lien avec les statistiques d'exclusion quantique et la combinatoire de chemins de Dyck et Motzkin généralisés. Dans le chapitre 1, nous rappelons la notion d'aire algébrique d'une marche aléatoire sur réseau, le modèle de Hofstadter, les statistiques d'exclusion et leurs connexions. Dans le chapitre 2, nous nous intéressons aux coefficients du déterminant séculaire du Hamiltonien de Hofstadter qui sont interprétés en termes de fonctions de partition d'exclusion avec paramètre d'exclusion g=2. L'énumération de l'aire algébrique est obtenue en termes des coefficients de cluster associés. Nous étudions ensuite les marches aléatoires fermées sur le réseau en nid d'abeille et établissons une correspondance avec un système de particules obéissant à un mélange de statistiques d'exclusion g=1 (fermions) et g=2. Dans le chapitre 3, nous relions la combinatoire de chemins de Dyck et Motzkin généralisés périodiques aux coefficients de cluster de particules obéissant à des statistiques d'exclusion généralisées, et obtenons des expressions explicites pour compter les chemins de Dyck et Motzkin avec un nombre fixe de pas de chaque type. Dans le chapitre 4, nous étendons le concept d'aire algébrique aux marches fermées sur un réseau cubique et associons l'énumération aux coefficients de cluster de trois types de particules obéissant à des statistiques d'exclusion g=1, g=1 et g=2, respectivement, avec la contrainte que les nombres de particules d'exclusion g=1 des deux types soient égaux.