Operads and Maurer–Cartan spaces

Opérades et espaces de Maurer-Cartan Cette thèse s’inscrit dans les thèmes de la théorie des opérades et de l’algèbre homotopique. Soient donnés un type d'algèbre, un type de cogèbres et une relation entre ces types de structures algébriques (codés respectivement par une opérade, une coopérade et un morphisme tordant). Il est possible alors de mettre une structure naturelle d’algèbre de Lie à homotopie près sur l’espace des applications linéaires d’une cogèbre C vers une algèbre A. On appelle l’algèbre de Lie `a homotopie près obtenue de cette fac¸on l’algèbre de convolution de A et C. Dans cette thèse, on étudie la théorie des algèbres de convolution et leur compatibilité avec les instruments de l’algèbre homotopique : les infini-morphismes et le théorème de transfert homotopique. Après avoir fait cela, on applique cette théorie à plusieurs domaines, comme la théorie de la déformation dérivée et la théorie de l’homotopie rationnelle. Dans le premier cas, on utilise les instruments développés en construisant une algèbre de Lie universelle qui représente l’espace des éléments de Maurer-Cartan, un objet fondamental de la théorie de la déformation. Dans le deuxième cas, on donne une généralisation d’un résultat de Berglund sur des modèles rationnels pour les espaces de morphismes entre deux espaces pointés.