Real Structures of Phase Tropical Surfaces

Structures réelles des surfaces tropicales phasées Le patchwork de Viro introduit à la fin des années 1970 est une des approches principales pour construire des variétés algébriques réelles avec des propriétés topologiques prescrites. La méthode de Viro est étroitement reliée à la géométrie tropicale. En particulier, le cas le plus simple de cette méthode, connu sous le nom de patchwork combinatoire primitif, est basé sur des données partiellement duales à une variété tropicale non-singulière. Pour les courbes planes, les structures réelles provenant d'un patchwork combinatoire primitif ont été décrites par B. Haas en 1997, permettant ainsi d'établir un critère combinatoire pour la maximalité (au sens de Smith-Thom) des courbes planes ainsi construites. Cette description a été réinterprétée en 2017 par B. Bertrand, E. Brugallé et A. Renaudineau ouvrant la voie à une généralisation en dimension supérieures. Nous généralisons leur approche au cas des surfaces et donnons une description d'une certaine classe de structures réelles sur une surface tropicale phasée qui forment un espace affine dont la direction est donnée en termes de la cohomologie de l'espace des ondes ("wave space") de la surface tropicale sous-jacente. Nous donnons ensuite une filtration de l'homologie de la surface tropicale phasée par le relèvement de cycles tropicaux de la surface tropicale. Enfin, nous établissons un critère combinatoire nécessaire pour la maximalité d'une surface tropicale phasée munie d'une structure réelle, ainsi qu'un critère nécessaire et suffisant pour le type I de surfaces tropicales phasées réelles.