Delaunay triangulations of spaces of constant negative curvature

Triangulations de Delaunay dans des espaces de courbure constante négative Nous étudions les triangulations dans des espaces de courbure négative constante, en théorie et en pratique. Ce travail est motivé par des applications dans des domaines variés. Nous considérons les complexes de Delaunay et les diagrammes de Voronoï dans la boule de Poincaré, modèle conforme de l'espace hyperbolique, en dimension quelconque. Nous utilisons l'espace des sphères pour la description des algorithmes. Nous étudions aussi les questions algébriques et arithmétiques et observons que les calculs effectués sont rationnels. Les démonstrations sont basées sur des raisonnements géométriques et n'utilisent aucune formulation analytique de la distance hyperbolique. Nous présentons une implantation complète, exacte et efficace en dimension deux. Le code est développé en vue d'une intégration dans la bibliothèque CGAL, qui permettra une diffusion à un large public. Nous étudions ensuite les triangulations de Delaunay des surfaces hyperboliques fermées. Nous définissons une triangulation comme un complexe simplicial afin de permettre l'adaptation de l'algorithme incrémentiel connu pour le cas euclidien. Le cœur de l'approche consiste à montrer l'existence d'un revêtement fini dans lequel les fibres définissent toujours une triangulation de Delaunay. Nous montrons une condition suffisante sur la longueur des boucles non contractiles du revêtement. Dans le cas particulier de la surface de Bolza, nous proposons une méthode pour construire un tel revêtement, en étudiant les sous groupes distingués du groupe fuchsien définissant la surface. Nous considérons des aspects liés à l'implantation.