On the Landau approximation in plasma physics

This paper studies the approximation of the Boltzmann equation by the Landau equation in a regime when grazing collisions prevail. While all previous results in the subject were limited to the spatially homogeneous case, here we manage to cover the general, space-dependent situation, assuming only basic physical estimates of finite mass, energy, entropy and entropy production. The proofs are based on the recent results and methods introduced previously in [R. Alexandre, C. Villani, Comm. Pure Appl. Math. 55 (1) (2002) 30–70] by both authors, and the entropy production smoothing effects established in [R. Alexandre et al., Arch. Rational Mech. Anal. 152 (4) (2000) 327–355]. We are able to treat realistic singularities of Coulomb type, and approximations of the Debye cut. However, our method only works for finite-time intervals, while the Landau equation is supposed to describe long-time corrections to the Vlasov–Poisson equation. If the mean-field interaction is neglected, then our results apply to physically relevant situations after a time rescaling. Résumé Nous étudions l’approximation de l’équation de Boltzmann par l’équation de Landau quand les collisions rasantes sont dominantes. Alors que tous les résultats connus auparavant en la matière concernaient le cas spatialement homogène, ici nous parvenons à couvrir le cas général, spatialement inhomogène, supposant seulement des estimations a priori physiquement réalistes portant sur la masse, l’énergie, l’entropie et la production d’entropie. Les preuves reposent sur les résultats et méthodes mis au point récemment par les auteurs dans [R. Alexandre, C. Villani, Comm. Pure Appl. Math. 55 (1) (2002) 30–70], et sur les effets de régularisation par production d’entropie établis dans [R. Alexandre et al., Arch. Rational Mech. Anal. 152 (4) (2000) 327–355]. Nos résultats couvrent certaines singularités physiquement réalistes de type coulombien, et des approximations de la coupure de Debye. Cependant, nos résultats s’appliquent sur un intervalle de temps fini, alors que l’équation de Landau est censée décrire les corrections en temps grand de l’équation de Vlasov–Poisson. Si le terme d’interaction de champ moyen est négligé, nos résultats s’appliquent à des situations physiquement réalistes après un changement d’échelle de temps.