Semiclassical hypocoercivity and Eyring-Kramers law for degenerated Fokker-Planck operators

Hypocoercivité semiclassique et loi d’Eyring-Kramers pour des operateurs de Fokker-Planck dégénérés Dans cette thèse, nous étudions certains opérateurs de Fokker-Planck ainsi que le Laplacien de Witten dans un régime de basse température, en considérant des potentiels qui ne sont pas nécessairement Morse. Notre objectif principal est d’analyser le comportement spectral au voisinage de zéro des opérateurs associés, pour lesquels nous visons à fournir une caractérisation précise. Une telle description spectrale permet d’obtenir des informations détaillées sur la dynamique à long terme des solutions, notamment des résultats quantitatifs sur le retour à l’équilibre et la métastabilité. Nous commençons par l’étude du Laplacien de Witten, un opérateur autoadjoint. Notre approche consiste à adapter des constructions de quasimodes à notre cadre non Morse. Sous une hypothèse générique sur le potentiel dégénéré, nous parvenons à établir la description spectrale recherchée. Nous nous intéressons ensuite à des opérateurs de type Fokker-Planck avec des coefficients dégénérés généralisés. Cette dégénérescence s’entend au sens où le symbole microlocal de l’opérateur n’est plus localement quadratique. En nous appuyant sur les résultats obtenus pour le Laplacien de Witten, nous surmontons les difficultés analytiques induites par cette dégénérescence. Notre stratégie repose en partie sur des estimations de la résolvante obtenues par des méthodes hypocoercives. Là encore, nous parvenons à établir une formule de type Eyring-Kramers pour le spectre de cet opérateur.