Teorema de Gabriel para álgebras de caminhos de tipo finito

O objetivo deste texto e, simplesmente, explorar diversos tópicos da teoria de representações de álgebras de dimensão finita. O teorema de Gabriel, que trata do tipo de representação de álgebras de caminhos, foi escolhido como teorema principal deste texto com este propósito em mente. Apesar disso, não pode ser subestimado quantos teoremas e resultados diferentes da teoria de representações de álgebras de dimensão finita serviriam para cumprir este objetivo, e o leitor é referido aos excelentes livros [ 1], [2], [5] e [4] para um tratamento completo da teoria. Começamos o texto com um breve sumário das terminologias, propriedades e ferramentas usadas no estudo dos objetos elementares da teoria de representações de álgebras, nomeadamente, álgebras e seus módulos. Deixamos os resultados mais gerais e bem conhecidos à literatura, e focamos a nossa atenção ao estudo de álgebras de dimensão finita. No capítulo 2, introduzimos as álgebras de caminhos e seus quocientes, que nos permite provar um teorema de classificação importante sobre álgebras básicas de dimensão finita e nos dá uma forte intuição em como trabalhar com estes objetos a partir de então. Esta intuição é levada para o estudo de módulos na seção seguinte, onde provamos resultados sobre módulos olhando para suas representações. Por último, associamos, para toda k-álgebra básica de dimensão finita A, sua forma quadrática de Euler qA, que codifica muitas propriedades homológicas de sua álgebra. Com esta motivação, o capítulo 3 estuda formas quadráticas integrais em si e define a forma quadrática de uma aljava Q. Acontece que, para uma álgebra de caminhos A = kQ, esta nova forma quadrática coincide com a forma quadrática de Euler de A. Por último, mostramos como certas propriedades de qQ impõe severas restrições no grafo subjacente da aljava Q.||O último capítulo é dedicado ao desenvolvimento da clássica teoria de Auslander-Reiten, onde muitas das ferramentas e técnicas usadas para lidar com perguntas sobre o tipo de representação de álgebras é desenvolvida. Usamos os morfismos radicais e irredutíveis para motivar o estudo de sequências quase cindidas e a aljava de Auslander-Reiten, que usamos depois para provar o teorema principal desta tese.