Convergence en loi de l'erreur dans le problème des points d'un réseau

Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème général suivant. Soit L un réseau unimodulaire de R^{d}. Soit S un ensemble mesurable de volume fini. Quel est le nombre N(S,L) de points qui appartiennent à la fois à L et à S ? Lorsque S est suffisamment régulier, on peut montrer que ce nombre N(S,L) est approchée par vol(S) à une erreur R(S,L) près. Le but de cette thèse est d'avoir une idée plus précise du comportement de l'erreur R(S,L) dans différentes situations. Après avoir introduit le problème dans le chapitre 1, dans le chapitre 2 nous montrons que lorsque l'on prend pour S un parallélogramme P et lorsque l'on prend L unimodulaire et aléatoire, ainsi que X un vecteur de R^{2} aléatoire, on montre que R(t P +X,L)/\log(t) converge en loi, quand t tend vers l'infini, vers une loi de Cauchy centré. Dans le chapitre 3, lorsque l'on prend pour S une ellipse E centrée en 0 et lorsque l'on prend L unimodulaire et aléatoire, on montre que R(tE,L)/sqrt(t) converge en loi, quand t tend vers l'infini, vers une loi non triviale que l'on explicite et dont on étudie la finitude des moments. Dans le chapitre 4, on généralise le résultat précédent en prenant cette fois pour S un corps strictement convexe analytique C et en considérant, non plus t C, mais t C + X avec X un vecteur de R^{2} fixé. Dans les chapitres précédents, on a suivi une approche qui s'inspire de celle de Kesten en prenant L aléatoire. Dans les deux derniers chapitres, on prend t aléatoire et c'est une approche qui s'inspire de celle de Bleher. Plus précisément, dans le chapitre 5, on prend pour S un rectangle P de centre 0 dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Puis on montre que, après moyennisation en X de l'erreur R(tP+X,L) au carré, correctement normalisée, que celle-ci converge en loi lorsque t est aléatoire et devient grand dans différents cas : lorsque le réseau L est admissible au sens de Skriganov ou typique. D'ailleurs, dans le cas typique, la normalisation, proche, d'une certaine manière, de log(t), est plus forte que dans le cas admissible, ce qui est attendu. Enfin, dans le chapitre 6, on généralise un résultat qui avait aussi été obtenu dans le chapitre 5. Plus exactement, on montre que lorsque l'on prend un hypercube C de centre 0 dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées et de longueur 2, R(t C + X, Z^{d})/t^{d-1} converge en loi vers une loi non triviale lorsque t est aléatoire et devient grand dans deux cas : lorsque X, vecteur de R^{d}, s'écrit X=(x,\cdots,x) et lorsque X s'écrit X=(x_{1},..., x_{d}) avec x_{1},...,x_{d} étant indépendants entre eux et de t et étant distribuées selon une loi uniforme sur [-1/2, 1/2].