Dynamics of tilling billiards : renormalization of interval exchange transformations and of half-translation surfaces

Dynamique des billards dans les pavages : renormalisation des échanges d’intervalles et des surfaces de demi-translation Les billards dans les pavages sont des systèmes dynamiques dont l’étude est motivée par des questions aussi bien physiques que mathématiques. Au début des années 2000, des physiciens ont conçu et réalisé des méta-matériaux dans lesquels les ondes électromagnétiques se réfractent selon la loi de Snell-Descartes avec un coefficient négatif. Le trajet de la lumière dans un arrangement de méta-matériaux d’indices de réfraction opposés constitue la trajectoire d’un billard dans un pavage. C’est une ligne brisée dans le plan, droite à l’intérieur de chaque tuile du pavage, et réfractée à la frontière entre deux tuiles. Que peut-on dire de telles trajectoires? Sont-elles bornées ou non ? Périodiques ? Comment s’échappent-elles à l’infini ? La littérature répond à ces questions pour un petit nombre de pavages, mais pour l’essentiel des configurations les questions restent ouvertes. Dans la plupart des cas étudiés, chaque trajectoire s’identifie à l’orbite d’un point par un échange d’intervalles avec retournements. Le chapitre 2 présente les outils utilisés. Dans le chapitre 3, j’introduis une nouvelle notion, celle de billards dans des pavages généralisés, construits avec des polygones inscrits dans des cercles. Les trajectoires étudiées présentent des comportements différents de celles connues auparavant dans les pavages triangulaires et quadrilatéraux cycliques. J’exhibe un ensemble ouvert de paramètres pour lesquels les trajectoires admettent une direction asymptotique et en dévient de façon sous-linéaire. Cela n’arrive jamais dans des pavages triangulaires ou quadrilatéraux. De plus, j’établis le taux de croissance de ces déviations, dans le cas générique et dans certains cas non génériques. Dans le chapitre 4, j’étudie la classe des échanges d’intervalles associés aux billards dans un pavage bi-triangulaire. Ce sont des échanges d’intervalles définis sur deux cercles de même périmètre, qui admettent chacun trois intervalles de continuité (tous renversés). Je définis une induction pour étudier cette classe d’échanges d’intervalles. Cette induction permet de restreindre l’ensemble des paramètres susceptibles de correspondre à des échanges d’intervalles minimaux. Le chapitre 5 s’intéresse aux trajectoires obtenues dans un arrangement périodique de rectangles (d’indice -1) dans le plan euclidien (d’indice 1). Cet arrangement est celui du modèle du vent dans les arbres. Je montre que pour presque tout choix de paramètres, les trajectoires restent dans une bande (de largeur bornée) du plan. Ce comportement est semblable à celui des lentilles d’Eaton