Ergodic properties of low dimensional flows including dispersive billiards

Propriétés ergodiques des flots en basses dimensions incluant les billards dispersifs Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous proposons une preuve courte montrant que la croissance des intégrales ergodiques d'un flot uniquement ergodique sur un tore en dimension deux -- et admettant une section transverse dont l'application de Poincaré a un nombre de rotation de type constant -- est au plus logarithmique. En appliquant ce résultat au développement asymptotique des intégrales ergodiques pour les flots de Giulietti--Liverani, nous obtenons une nouvelle preuve de l'absence de résonance de Ruelle non triviale de module strictement supérieur à un. Nous donnons également un exemple de flot sur le tore renormalisé par un difféomorphisme Axiome A, satisfaisant les hypothèses impliquant une croissance au plus logarithmique. Dans la deuxième partie, nous construisons des états d'équilibre pour l'application de collision d'un billard dispersif, associés à des potentiels Hölder par morceaux. Cette construction repose sur l'étude d'un opérateur de transfert pondéré agissant sur des espaces de Banach anisotropes de distributions. Nous montrons que lorsque le potentiel satisfait certaines conditions techniques, alors il existe un état d'équilibre, qui de plus est unique, Bernoulli, adapté et a un support total. Nous montrons qu'il existe un potentiel particulier tel que l'ensemble de ses états d'équilibre est en bijection avec l'ensemble des mesures d'entropie maximale du flot billard. Dans la dernière partie, nous montrons que ce potentiel satisfait les hypothèses suffisantes garantissant l'existence et les autres résultats énoncés sur l'unique mesure d'équilibre. Par conséquent, nous obtenons une condition suffisante pour que le flot de billard admette une unique mesure d'entropie maximale, et nous donnons des exemples de billards qui satisfont cette condition. Enfin, nous prouvons que cette mesure est Bernoulli, adaptée au flot et a un support total.