Study of generalized Radon transforms and applications in Compton scattering tomography

Étude de transformées de Radon généralisées et applications en tomographie Compton Depuis l'avènement des premiers appareils imageurs par rayonnement ionisant initié par les prix Nobel Godfrey Newbold Hounsfield et Allan MacLeod Cormack en 1979, le besoin en de nouvelles techniques d'imagerie non invasives n'a cessé de croître. Ces techniques s'appuient sur les propriétés de pénétration dans la matière des rayonnements X et gamma pour détecter une structure cachée sans avoir à détruire le milieu exposé. Elles sont employées dans de nombreux domaines allant de l'imagerie médicale au contrôle non destructif en passant par le contrôle environnemental. Cependant les techniques utilisées jusqu'à maintenant subissent de fortes dégradations dans la qualité des mesures et des images reconstruites. Généralement approchées par un bruit, ces dégradations exigent d'être compensées ou corrigées par des dispositifs de collimation et de filtrage souvent coûteux. Ces dégradations sont principalement dues aux phénomènes de diffusion qui peuvent constituer jusqu'à 80 % du rayonnement émis en imagerie biomédicale. Dès les années 80 un nouveau concept a vu le jour pourcontourner cette difficulté : la tomographie Compton. Cette nouvelle approche propose de mesurer le rayonnement dit diffusé en se plaçant dans des gammes d'énergie (140−511 keV) où l'effet Compton est le phénomène de diffusion prépondérant. L'exploitation de tels dispositifs d'imagerie nécessite une compréhension profonde des interactions rayonnement/matière afin de proposer un modèle, cohérent avec les données mesurées, indispensable à la reconstruction d'images. Dans les systèmes d'imagerie conventionnels (qui mesurent le rayonnement primaire), la transformée de Radon définie sur les lignes droites est apparue comme le modèle naturel. Mais en tomographie Compton, l'information mesurée est liée à l'énergie de diffusion et ainsi à l'angle de diffusion.Ainsi la géométrie circulaire induite par le phénomène de diffusion rend la transformée de Radon classique inadaptée. Dans ce contexte, il devient nécessaire de proposer des transformées de type Radon sur des variétés géométriques plus larges.L'étude de la transformée de Radon sur de nouvelles diversités de courbes devient alors nécessaire pour répondre aux besoins d'outils analytiques de nouvelles techniques d'imagerie. Cormack, lui-même, fut le premier à étendre les propriétés de la transformée de Radon classique à une famille de courbes du plan. Par la suite plusieurs travaux ont été menés dans le but d'étudier la transformée de Radon définie sur différentes variétés de cercles, des sphères, des lignes brisées pour ne citer qu'eux. En 1994 S.J. Norton proposa la première modalité de tomography Compton modélisable par une transformée de Radon sur lesarcs de cercle, la CART1. En 2010 Nguyen et Truong établirent l'inversion de la transformée de Radon sur les arcs de cercle, CART2, permettant de modéliser la formation d'image dans une nouvelle modalité de tomographie Compton. La géométrie des supports d'intégration impliqués dans de nouvelles modalitésde tomographie Compton les conduirent à démontrer l'invertibilité de la transformée de Radon définie sur une famille de courbes de type Cormack, appelée C_alpha. Ils illustrèrent la procédure d'inversion dans le cadre d'une nouvelle transformée, la CART3 modélisant une nouvelle modalité de tomographie Compton.En nous basant sur les travaux de Cormack et de Truong et Nguyen, nous proposons d'établir plusieurs propriétés de la transformée de Radon définie sur la famille C_alpha et plus particulièrement sur C1. Nous avons ainsi démontré deux formules d'inversion qui reconstruisent l'image d'origine via sa décompositionharmonique circulaire et celle de sa transformée et qui s'apparentent à celles établies par Truong and Nguyen. Nous avons enfin établi la bien connue rétroprojection filtrée ainsi que la décomposition en valeurs singulières dans le cas alpha = 1. L'ensemble des résultats établis dans le cadre de cette étude apporte des réponses concrètes a