The Cauchy problem for nearly hyperbolic or no-hyperbolic quasi-linear systems in Gevrey regularity

Le problème de Cauchy pour les systèmes quasi-linéaires faiblement hyperboliques ou non-hyperboliques en régularité Gevrey Nous considérons dans cette thèse le problème de Cauchy pour des systèmes d'EDP quasilinéaires, du premier ordre. Dans le cas initialement elliptique, c'est-à-dire un spectre non-réel pour le symbole principal du système à t=0, nous prouvons un résultat d'instabilité au sens d'Hadamard. La preuve est basée sur la construction d'une famille de solutions présentant une croissance exponentielle en temps et fréquence. Cette famille invalide la régularité Hölder du flot, partant d'espaces de Gevrey vers L². Nous prouvons un résultat analogue pour différents cas de transition de l'hyperbolique vers l'elliptique, avec une restriction possible sur l'indice Gevrey pour lequel l'instabilité est observée. Dans un second temps, nous considérons le cas faiblement hyperbolique et semilinéaire. Grâce à des estimations d'énergie dans les espaces de Gevrey et à la construction d'un symétriseur adapté, nous prouvons le caractère localement bien-posé pour un tel système. Pour ce faire, nous utilisons et démontrons aussi un résultat d'action d'opérateurs pseudo-différentiels dont le symbole possède une régularité Gevrey dans la variable d'espace.