Fractal dimension and point-wise properties of trajectories of fractional processes

Dimension fractale et propriétés ponctuelles des trajectoires des processus fractionnaires Le sujet de cette thèse porte sur l'interférence de la théorie des probabilités avec l'analyse dimensionnelle et harmonique, accentuant les propriétés géométriques des chemins aléatoires des processus stochastiques gaussiens et non gaussiens. Cette ligne de recherche s'est rapidement développée au cours des dernières années, ayant des propriétés locales et globales claires pour les chemins aléatoires associés à divers processus stochastiques tels que le mouvement brownien et fractionnaire brownien. Dans cette thèse, nous commençons par étudier les ensembles de niveaux associés au mouvement brownien fractionnaire en utilisant la dimension de Hausdorff macroscopique. Puis comme étape préliminaire, nous établissons quelques points techniques concernant la distribution du processus de Rosenblatt dans le but d'étudier diverses propriétés géométriques de ses chemins aléatoires. Tout d'abord, nous obtenons des résultats concernant les dimensions de Hausdorff (classiques et macroscopiques), d'emballage et intermédiaires, et les densités logarithmiques et de pixels des ensembles d'images, de niveaux et de temps de séjour associés aux chemins d'échantillonnage du processus de Rosenblatt. Deuxièmement, nous étudions la régularité ponctuelle du Rosenblatt généralisé et prouvons l'existence de trois types de comportement local : les points lents, ordinaires et rapides. À cet effet, des bornes fines sur les incréments du processus de Rosenblatt sont nécessaires. Notre analyse repose essentiellement sur différentes méthodes d'ondelettes.Dans le dernier chapitre, nous illustrons plusieurs méthodes d'estimation de la dimension macroscopique de Hausdorff, qui jouent un rôle majeur dans nos résultats. En particulier, nous construisons les méthodes théoriques potentielles. Puis, en se basant sur cela, nous montrons que la dimension macroscopique de Hausdorff de la projection d'un ensemble DOLLARE subset mathbb{R}^2DOLLAR sur presque toutes les droites passant par l'origine dans DOLLARmathbb{R}^2DOLLARne dépend que de DOLLAREDOLLAR, c'est-à-dire qu'elles sont presque sûrement indépendantes du choix de la droite.