Arithmetic of Kummer lines

Arithmétique des droites de Kummer Les courbes elliptiques sont utilisées dans de nombreux protocoles cryptographiques depuis quarante ans et leur arithmétique a été largement étudiée. Dans de nombreuses applications, effectuer une multiplication scalaire efficacement sur une courbe elliptique est essentiel. Ce calcul s’effectue avec les coordonnées XZ de Montgomery et le Montgomery ladder. Ce système de coordonnées est un cas particulier de droite de Kummer. D’un autre côté, les variétés abéliennes de dimension supérieure sont de plus en plus populaires en cryptographie, mais leur arithmétique a été moins étudiée. Le système de coordonnées universel en dimension supérieure est basé sur les fonctions thêta, et donne un autre exemple de droite de Kummer lorsque appliqué à une courbe elliptique. Dans cette thèse, nous introduisons un cadre pour les droites de Kummer qui unifie les différents systèmes de coordonnées et les différentes formules déjà connues dans la littérature. Ce point de vue plus général permet de donner une méthode algorithmique pour déterminer des formules pour l’arithmétique des droites de Kummer, notamment en utilisant des outils en dimension 2. Nous introduisons des variantes du ladder pour effectuer la multiplication scalaire. Cela nous permet également de classifier les courbes elliptiques à partir de critères simples sur leur droite de Kummer. Nous donnons des applications aux volcans d’isogénies et à la factorisation d’entiers via ECM. Les idées développées dans cette thèse, bien qu’orientées sur l’arithmétique des courbes elliptiques et des droites de Kummer, essaient d’utiliser au plus le cadre général des variétés abéliennes et du système de coordonnées universel des fonctions thêta, ce qui laisse la place à la généralisation de ces idées en dimension supérieure.