Foliations on homogeneous varieties

Feuilletages sur les variétés homogènes Nous classons les feuilletages de codimension un sur les variétés adjointes dont la classe anticanonique est la plus positive. Comme outil pour comprendre ces feuilletages, nous introduisons la notion de degré d’un feuilletage par rapport à une famille de courbes rationnelles, ce qui peut présenter un intérêt indépendant.Soit X une variété adjointe de nombre de Picard égal à un. Dans ce cas, il existe une unique famille minimale dominante de courbes rationnelles sur X. Les feuilletages ayant la classe anticanonique la plus positive sont précisément ceux de degré nul par rapport à cette famille. Nous prouvons que de tels feuilletages sont toujours induits par un pinceau de sections hyperplanes relativement au plongement minimal.Considérons maintenant le cas où X est une variété adjointe de nombre de Picard égal à deux. Alors X admet deux familles distinctes de courbes rationnelles minimales dominantes. Dans ce contexte, les feuilletages peuvent avoir un degré négatif — c’est-à-dire qu’ils peuvent être tangents à une courbe générale dans l'une des deux familles dominantes — et nous décrivons la structure de ces feuilletages. Nous étudions également les feuilletages de degré nul par rapport aux deux familles. Nous montrons que l’espace de tels feuilletages possède plusieurs composantes, puis nous décrivons chacune de ces composantes.