Singularities of linear families of symmetric matrices

Singularités de familles linéaires de matrices symétriques Dans cette thèse, on étudie les régularités des valeurs propres et vecteurs propres de familles linéaires de matrices symétriques réelles A(t)∈ Sym_d(R), t∈Ω⊂R^k. Les éléments propres de A(t) sont singuliers en général, et Kurdyka et Paunescu (2008) en donnent une résolution par éclatements dans l'espace Ω. Le long d'une courbe, Rellich (1937) montre que les éléments propres de A(t) ont un prolongement analytique. Mais le prolongement le long d'un lacet peut s'avérer différent du point de départ : le premier groupe d'homotopie de l'ensemble des paramètres réguliers agit par permutation sur le spectre de A(t), une action que l'on appelle monodromie de A(t). Nous relions cette monodromie avec un autre invariant, la monodromie antipodale, et caractérisons complètement les permutations apparaissant comme monodromies de familles à deux paramètres. En montrant que les points singuliers d'une famille diagonale générique à un paramètre admettent des perturbations indépendantes, nous réalisons toute permutation donnée comme la monodromie antipodale d'une famille à deux paramètres. Pour les familles affines à deux paramètres, nous décrivons le comportement des valeurs propres au voisinage des points où A(t) a une valeur propre double. On s'intéresse ensuite à l'existence d'une diagonalisation, ou d'une réduction par bloc, analytique, pour A(t)∈ Sym_d(R). On remarque que l'absence de monodromie antipodale n'est pas suffisante pour factoriser une valeur propre dans le polynôme caractéristique ᵡ_A, ni l'existence d'un facteur dans ᵡ_A n'assure l'existence d'une réduction par bloc. On obtient cependant des résultats positifs pour les valeurs propres extrémales. Ceux-ci permettent de montrer que A(t) admet une diagonalisation analytique complète si et seulement si sa monodromie antipodale est triviale: la monodromie antipodale est l'unique obstruction à l'existence d'éléments propres analytiques. Enfin, nous nous concentrons sur les familles à deux paramètres dans Sym_3(R). Ici, les vecteurs propres et valeurs propres forment chacun une cubique de P^2. Nous classifions entièrement les couples de telles cubiques et montrons qu'il n'y existe que 9 types de telles paires. Inspiré par cette étude, on s'intéresse à la question de savoir si les vecteurs propres fournissent une résolution des singularités des valeurs propres, et on donne une réponse positive dans le cas des courbes, et lorsque la famille est l'espace complet Sym_d(R).