Densité des points rationnels sur les surfaces elliptiques et les surfaces de Del Pezzo de degré 1

: Soit E→P1 une surface elliptique sur Q de base P1 non triviale. On s’intéresse à la Zariski-densité des points rationnels de E . Il est conjecturé que le signe de l’équation fonctionnelle d’une courbe elliptique est relié à la parité du rang de celle-ci. Modulo cette conjecture, il est suffisant de démontrer que le signe des fibres de E varie pour démontrer la Zariski-densité de E (Q). Un théorème conditionnel de Helfgott garantit que le signe moyen d’une surface non isotriviale est strictement compris entre -1 et 1. Dans le cas où E possède une place générique de réduction multiplicative, le signe moyen serait nul. Ce travail est conditionnel à deux conjectures de théorie analytique des nombres : la conjecture sans facteur carré et la conjecture de Chowla. L’objectif principal de cette thèse est d’éviter les conjectures utilisées par Helfgott pour démontrer la variation du signe sur les surfaces elliptiques non triviales. On réussit à se passer de la conjecture sans facteur carré sous certaines hypothèses techniques. On démontre ainsi (sous l’hypothèse de la conjecture de parité) la densité des points rationnels sur certaines surfaces elliptiques dont les coefficients sont des polynômes de degré arbitraire. Une surface de Del Pezzo de degré 1 est reliée par l’éclatement d’un point canonique à une surface elliptique rationnelle. On démontre inconditionnellement la densité des points rationnels dans plusieurs cas par des arguments géométriques. On étudie aussi la variation du signe de l’équation fonctionnelle pour des surfaces elliptiques rationnelles isotriviales et on cerne des conditions pour que le signe soit fixé. Dans le cas où le signe est +1, on en déduit des exemples de surfaces elliptiques non triviales dont les points rationnels pourraient ne pas être denses.