Computation of invariant pairs and matrix solvents

Calcul de paires invariantes et solvants matriciels Cette thèse porte sur certains aspects symboliques-numériques du problème des paires invariantes pour les polynômes de matrices. Les paires invariantes généralisent la définition de valeur propre / vecteur propre et correspondent à la notion de sous-espaces invariants pour le cas nonlinéaire. Elles trouvent leurs applications dans le calcul numérique de plusieurs valeurs propres d’un polynôme de matrices; elles présentent aussi un intérêt dans le contexte des systèmes différentiels. En utilisant une approche basée sur les intégrales de contour, nous déterminons des expressions du nombre de conditionnement et de l’erreur rétrograde pour le problème du calcul des paires invariantes. Ensuite, nous adaptons la méthode des moments de Sakurai-Sugiura au calcul des paires invariantes et nous étudions le comportement de la version scalaire et par blocs de la méthode en présence de valeurs propres multiples. Le résultats obtenus à l’aide des approches directes peuvent éventuellement être améliorés numériquement grâce à une méthode itérative: nous proposons ici une comparaison de deux variantes de la méthode de Newton appliquée aux paires invariantes. Le problème des solvants de matrices est très proche de celui des paires invariants. Le résultats présentés ci-dessus sont donc appliqués au cas des solvants pour obtenir des expressions du nombre de conditionnement et de l’erreur, et un algorithme de calcul basé sur la méthode des moments. De plus, nous étudions le lien entre le problème des solvants et la transformation des polynômes de matrices en forme triangulaire.