Investigation into phenomena surrounding universally Baire sets

Enquête sur les phénomènes entourant les ensembles universellement Baire Cette thèse présente mes contributions à divers aspects de la théorie des ensembles universellement Baire. L'un de ces aspects est le plus petit modèle intérieur contenant tous les réels dont tous les ensembles de réels sont universellement Baire (à savoir, L(R)) et sa relation avec son modèle intérieur HOD. Nous vérifions ici que HOD de L(R) bénéficie d'une forme de définissabilité locale à l'intérieur de L(R), ce qui justifie sa caractérisation en tant que « modèle de cœur » dans L(R). Nous étudions ensuite une construction « ascendante» d'ensembles universellement Baire plus compliqués (plus généralement, des ensembles déterminés). Cette construction nous permet de donner une description du « type L » du plus petit modèle de AD_R + «Theta est régulier ». Une conséquence de cette description est que ce plus petit modèle est contenu dans le modèle Chang-plus. Lorsque nous combinons notre construction et les travaux de Woodin sur le modèle Chang-plus, il s'ensuit qu'une classe propre de cardinaux de Woodin qui sont des limites de cardinaux de Woodin implique l'existence d'une souris du type hod avec une limite mesurable de cardinaux de Woodin dont la stratégie est universellement Baire. Un autre aspect de la théorie des ensembles universellement Baire est l'absoluité et la maximalité génériques qui leur sont associées. Nous incluons certains résultats concernant l'absoluité générique de formules qui sont \Sigma_1^{H(\omega_2)} et qui utilisent des ensembles universellement Baire en tant que prédicats ou paramètres, ainsi que concernant la maximalité générique de certaines formules qui sont \Pi_2^{H(\omega_2)} et qui utilisent des ensembles universellement Baire comme prédicats. Dans le second cas, nous sommes amenés à considérer la question générale de savoir quand un modèle d'une formule propositionnelle infinitaire peut être ajouté par un poset préservant les ensembles stationnaires de omega_1. Nous caractérisons quand cela se produit en termes d'un jeu qui est une variante du jeu d'existence de modèle. Enfin, nous donnons une condition suffisante pour cela en termes de plongements génériques.