Ricci surfaces and minimal surfaces in metric Lie groups

Les surfaces de Ricci et les surfaces minimales dans les groupes de Lie métriques Nous étudions dans cette thèse des sujets liés aux surfaces minimales dans les variétés homogènes de dimension trois. La première partie est consacrée à l'étude des surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle avec des bouts caténoïdaux. L'idée principale de cette recherche vient d'un célèbre théorème d'Huber. Nous commençons par introduire la définition des bouts caténoïdaux pour les surfaces de Ricci complètes à courbure négative ou nulle avec la courbure totale finie. Ensuite, nous développons un outil analogue à des données de Weierstrass. En utilisant cet outil, nous avons trouvé quelques résultats de classification et de non-existence pour les surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle de genre zéro avec des bouts caténoïdaux. À la fin du deuxième chapitre, nous prouvons aussi un théorème d'existence pour les surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle de genre arbitraire avec un nombre fini de bouts caténoïdaux. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur les surfaces minimales dans un groupe de Lie métrique de dimension trois widetilde{E(2)}, qui est le revêtement universel du groupe des isométries affines directes du plan euclidien muni d'une métrique riemannianne invariante à gauche. Premièrement, un résultat de Patrangenaru affirme que les métriques riemanniennes invariantes à gauche de widetilde{E(2)} peuvent être décrites comme une famille de métriques à deux paramètres. Nous appliquons ensuite une representation de type Weierstrass due à Meeks, Mira, Pérez et Ros pour construire une famille à un paramètre des surfaces minimales hélicoïdales, ainsi qu'une famille à un paramètre des surfaces minimales annulaires qui sont proprement plongées dans widetilde{E(2)}. Pour conclure, nous étudions le cas limite de la famille des surfaces minimales annulaires, et nous obtenons une nouvelle preuve d'un théorème de demi-espace pour les surfaces minimales dans widetilde{E(2)}.