Tropical Hodge theory and applications

Théorie de Hodge tropicale et applications Dans cette thèse, nous démontrons que la cohomologie tropicale d'une variété tropicale projective lisse vérifie plusieurs propriétés de symétries appelées propriétés kählériennes. Ces propriétés sont la dualité de Poincaré, le théorème de Lefschetz difficile, les relations de Hodge-Riemann et la conjecture monodromie-poids. Nous proposons de plus quelques applications.Dans le cas local, nous construisons une vaste famille d'éventails, dits tropicalement épluchables, dont les compactifications canoniques vérifient les propriétés kählériennes. Nous montrons aussi que la cohomologie tropicale calcule leurs anneaux de Chow et certains quotients des anneaux de Stanley-Reisner particulièrement importants en combinatoire.Pour le cas global, la preuve du théorème principal mentionné ci-dessus fait entre autre apparaître des théorèmes d'existence de bonnes triangulations et des versions particulières d'analogues tropicaux de la suite spectrale de Deligne, de la suite spectrale de Steenbrink et de l'opérateur de monodromie aussi appelé opérateur eigenwave.Comme application, nous généralisons le travail de De Concini-Procesi et Feichtner-Yuzvinsky concernant les compactifications magnifiques aux cas des éventails de Bergman généralisés.Par ailleurs, nous montrons une conjecture de Hodge tropicale pour les variétés tropicales projectives lisses admettant une triangulation rationnelle : les classes de Hodge sont exactement les classes de degré (p,p) dans le noyau de la monodromie.Finalement, nous généralisons les polynômes de Symanzik en dimensions supérieures. En dimension un, ces polynômes apparaissent en physique, en combinatoire et plus récemment en théorie de Hodge asymptotique. Ils possèdent de nombreuses propriétés qui restent valides pour notre généralisation. Ce travail est une première étape pour comprendre l'asymptotique de certaines données associées à une dégénérescence de variétés complexes en dimension quelconque. Par ailleurs, nous fournissons une description complète du graphe d'échange des indépendants d'un matroïde quelconque.