Generalized Ornstein-Uhlenbeck Processes in Ruin Theory

Les processus d'Ornstein-Uhlenbeck généralisés en théorie de la ruine Cette thèse contribue à l'étude des processus d’Ornstein-Uhlenbeck généralisés (GOU) et de leurs applications en théorie de la ruine. Les processus GOU, qui sont les solutions de certaines équations différentielles stochastiques linéaires ont été introduits en théorie de la ruine par Paulsen en 1993 en tant que modèles pour le capital d’une assurance soumise au risque de marché. En général, ces processus ont été choisis comme modèles de manière à priori. La première et principale contribution de cette thèse est de montrer que les processus GOU apparaissent de manière naturelle comme limites faibles de processus autoregressifs à coefficients aléatoires, processus qui sont très utilisés en probabilité appliquée. A partir de ce résultat, la convergence en distribution des temps de ruine, la convergence des probabilités de ruine ainsi que la convergence des moments sont aussi démontrées. Le reste de la thèse traite de certaines propriétés des processus GOU. En particulier, le problème de la ruine est traité et de nouvelles bornes sur les probabilités de ruine sont obtenues. Ces résultats généralisent aussi des résultats connus au cas où le risque de marché est modélisé par une semi-martingale. La dernière partie de la thèse s’éloigne de la théorie de la ruine pour passer à l'étude de la loi du processus à temps fixe. En particulier, une équation intégrodifférentielle partielle pour la densité est obtenue, ainsi que des approximations pour la loi en temps courts et longs. Cet éloignement s’explique par le fait que la plupart des mesures de risque utilisées dans la pratique sont basées sur ces lois et non sur la probabilité de ruine.