Mathematical modeling of atherosclerosis

Modélisation mathématique de l'athérosclérose Cette thèse a pour but la modélisation mathématique de l’athérosclérose. Elle étudie l’initiation de l’athérosclérose dans la paroi interne de l’artère: l’hyperperméabilité de l’endothélium et ses principaux aspects inflammatoires, le rôle de la chimiotaxie et de l’inflammation dans l’apparition des stries lipidiques, et l’épaississement progressif de la plaque à travers un modèle de frontière libre. Le premier chapitre consiste en une introduction détaillée sur la pathogenèse de l’athérosclérose qui explique ses aspects pro- et anti-inflammatoires ainsi que la dysfonction endothéliale. L’introduction décrit également la rétroaction positive entre l’inflammation dans l’athérosclérose et le mouvement chimiotactique des macrophages. Dans ce chapitre, nous présentons également un aperçu sur les modèles mathématiques de l’athérosclérose dans la litérature. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les stades précoces de l’athérosclérose via un modèle mathématique d’équations de réaction-diffusion. Le modèle identifie l’hyperperméabilité endothéliale. Nous réduisons le système à un système monotone et fournissons une interprétation biologique pour l’analyse de stabilité. Nous démontrons également l’existence de solutions de type ondes suivis par des simulations numériques. Ensuite, nous prouvons l’existence de solutions perturbées pour le modèle réduit non monotone ainsi que l’existence de solutions perturbées de type ondes pour le cas bistable. Enfin, nous étendons l’ ́etude en considérant le modèle complet proposé initialement et fournissons des résultats plus spécifiques à partir des simulations numériques. Les diagrammes de bifurcation élaborés pour le modèle complet montrent l’ ́evolution de l’inflammation en fonction de la perméabilité endothéliale et de l’accumulation de LDL. Dans ce modèle, la régulation de la progression de l’athérosclérose est due à l’aspect anti-inflammatoire de l’athérosclérose qui pourra conduire à la régression de la plaque. Dans le troisième chapitre, nous étudions un modèle d’ ́equations de réaction-diffusion qui décrit les principaux facteurs de l’athérosclérose et prend en considération la rétroaction positive entre l’inflammation et le mouvement chimiotactique des macrophages. L’analyse de stabilité et les simulations numériques du modèle réduit comprenant des macrophages et des cytokines inflammatoires montrent la formation de structures spatiales. Ces structures correspondant à l’émergence de stries lipidiques suite à l’interaction entre chimiotaxie et inflammation. Enfin, nous considérons le modèle complet qui fournit une description plus réaliste de la maladie tout en effectuant des simulations numériques. Le quatrième chapitre est consacré à l’étude d’un modèle mathématique de l’athérosclérose dans un domaine unidimensionnel à frontière libre. Le mouvement de la frontière est dû à la concentration de cellules dans l’intima et à leur interaction dans l’espace sous-endothélial ainsi qu’à leur flux à travers la frontière. Un modèle mathématique décrivant les principaux processus inflammatoires de l’athérosclérose est proposé, puis, en considérant quelques simplifications, un modèle réduit est suggéré. Le modèle réduit est converti en un modèle aux frontières fixes avec des coefficients dépendants de l’espace et du temps, ainsi que des termes non linéaires. Nous prouvons l’existence de solution pour le modèle à frontière fixe à termes linéaires en appliquant le théorème du point fixe. La solution d’onde est également montrée à travers des simulations numériques. Ensuite, nous revenons au modèle réduit, prouvons l’existence de la solution et présentons les résultats numériques. Enfin, nous généralisons les les résultats au modèle complet initialement proposé dans ce chapitre. Le dernier chapitre présente les conclusions des travaux de cette thèse ainsi que des questions ouvertes à des travaux futurs.