Mean field games with free final time

Jeux à champ moyen à temps final libre Motivé par des sujets économiques et d'ingénierie, vers 2006, les jeux à champ moyen ont été introduits par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions, et Peter E.~Caines, Minyi Huang et Roland P.~Malhamé, indépendamment. Cette thèse aborde des modèles de jeux à champ moyen avec temps final libre.Dans le premier chapitre, nous considérons plusieurs populations en interaction évoluant dans R visant à atteindre des ensembles cibles donnés en un minimum de temps. Le système de contrôle satisfait par chaque agent dépend de sa position, de la répartition des autres agents de la même population et de la répartition des agents des autres populations. Ainsi, les interactions entre agents se font par leur dynamique. Nous considérons dans ce chapitre l'existence d'équilibres lagrangiens à ce jeu à champ moyen, leur comportement asymptotique et leur caractérisation comme solutions d'un système de jeu à champ moyen, sous quelques hypothèses de régularité sur la dynamique des agents. En particulier, le système de jeu de champ moyen est établi sans s'appuyer sur les propriétés de semi-concavité de la fonction de valeur.De manière similaire au premier chapitre, dans le deuxième chapitre, nous considérons un modèle de jeu à champ moyen inspiré du mouvement de foule où les agents visent à atteindre un ensemble fermé, appelé ensemble cible, en un temps minimal, mais en plus des phénomènes de congestion, qui affectent la vitesse de un agent, le modèle est considéré en présence de contraintes d'état : en gros, ces contraintes peuvent modéliser des murs, des colonnes, des clôtures, des haies ou d'autres types d'obstacles à la frontière du domaine que les agents ne peuvent pas franchir. Nous rappelons tout d'abord quelques résultats antérieurs sur l'existence d'équilibres pour de tels jeux et présentons les principales difficultés liées à la présence de contraintes d'état. Notre principale contribution est de montrer que les équilibres du jeu satisfont un système d'équations aux dérivées partielles couplées, connu sous le nom de système de jeu à champ moyen, grâce à des techniques récentes de caractérisation des contrôles optimaux en présence de contraintes d'état. Ces techniques permettent non seulement de traiter des contraintes d'état mais nécessitent également très peu d'hypothèses de régularité sur la dynamique des agents.Dans notre dernier chapitre, nous considérons un modèle de jeu à champ moyen pour le mouvement de foule dans lequel les piétons interagissent non seulement par leur position, mais aussi par leur vitesse. Plus précisément, chaque piéton est supposé minimiser un coût impliquant son temps pour atteindre un certain ensemble cible, un coût intégral individuel et un coût intégral d'interaction modélisant le fait que les agents veulent éviter les régions trop denses et préfèrent se déplacer avec les agents allant dans la même direction qu'eux, ce qui peut être vu comme une interaction de type Cucker--Smale. Le résultat principal que nous obtenons dans ce chapitre est l'existence d'équilibres pour un tel jeu, qui est basé sur une approche variationnelle.