$0$-Hecke algebra action on the Stanley-Reisner ring of the Boolean algebra

We define an action of the $0$-Hecke algebra of type A on the Stanley-Reisner ring of the Boolean algebra. By studying this action we obtain a family of multivariate noncommutative symmetric functions, which specialize to the noncommutative Hall-Littlewood symmetric functions and their $(q,t)$-analogues introduced by Bergeron and Zabrocki. We also obtain multivariate quasisymmetric function identities, which specialize to a result of Garsia and Gessel on the generating function of the joint distribution of five permutation statistics. Nous définissons une action de l’algèbre de Hecke-$0$ de type A sur l’anneau Stanley-Reisner de l’algèbre de Boole. En étudiant cette action, on obtient une famille de fonctions symétriques non commutatives multivariées, qui se spécialisent pour les non commutatives fonctions de Hall-Littlewood symétriques et leur $(q,t)$-analogues introduits par Bergeron et Zabrocki. Nous obtenons également des identités de fonction quasisymmetrique multivariées, qui se spécialisent à la suite de Garsia et Gessel sur la fonction génératrice de la distribution conjointe de cinq statistiques de permutation.