Constructions of maximal three- and four-dimensional real algebraic varieties

Constructions de variétés algébriques réelles maximales de dimension 3 et 4 Cette thèse explore les possibilités offertes par plusieurs méthodes de construction d'hypersurfaces algébriques réelles non-singulières de dimension trois et quatre. En particulier, nous étudions en profondeur le patchwork combinatoire d'O. Viro et une construction due à I. Itenberg et O. Viro. En effectuant des modifications de la construction Itenberg-Viro et en l'adaptant à un nouvel espace ambiant, nous obtenons des exemples de familles d'hypersurfaces algébriques réelles maximales de dimension trois et quatre dont les nombres de Betti présentent des comportements asymptotiques intéressants. Nous construisons également de nouveaux types topologiques de quartiques réelles maximales dans l'espace projectif de dimension quatre en combinant différentes méthodes de construction.