Character stacks for Riemann surfaces and multiplicities for characters of GLn(Fq)

Champs de caractères pour surfaces de Riemann et multplicités pour caractères de GLn(Fq) Nous étudions les multiplicités du produit tensoriel des caractères irréductibles de GLn(Fq) et la cohomologie des champs de caractères pour les surfaces de Riemann trouées et pour les surfaces non orientables. Nous donnons une formule pour la multiplicité hX1_ _ _Xk; 1i pour tout k-uplet de caractères semi-simples deployés (X1; _ _ _ ;Xk). Une telle formule était déjà connue pour un k-uplet générique grâce à [45],[46]. Parmi nos résultats, nous prouvons que ces multiplicités sont polynomiales en q avec des coefficients entiers non négatifs et nous obtenons un critère de non-vani_cation. La formule de la thèse est donnée en reliant la multiplicité hX1 _ _ _ Xk; 1i au comptage des classes d'isomorphismes des représentations d'un certain carquois étoilé sur Fq. Les champs de caractères pour les surfaces de Riemann classi_ent les systèmes locaux sur la surface avec une monodromie locale prescrite. Pour un choix générique de la monodromie, leur cohomologie est bien comprise grâce à [46],[45],[72]. Nous calculons les E-séries de ces champs de caractères et donnons une formule conjecturale pour leurs séries de Poincaré mixtes pour tout choix de monodromie (pas nécessairement générique). Nous vérifions cette conjecture dans le cas de la ligne projective et de quatre points. Le résultat concernant la E-série est obtenu en comptant les points sur les corps finis, en généralisant l'approche introduite dans [46],[45]. Ces résultats complètent et renforcent également les résultats récents de Davison, Hennecart, Schelegel-Mejia [24] concernant une version champ-être de la théorie de Hodge non abélienne. Enfin, nous donnons un contre-exemple à une formule suggérée par le travail de Letellier et Rodriguez-Villegas [65] pour la série de Poincaré mixte des champs de caractères pour les surfaces non orientables. Le contre-exemple est obtenu par une description explicite de ces champs de caractères pour la somme connexe de deux copies du plan projectif réel.