Dynamics without physical measures

Systèmes dynamiques non statistiques Dans cette thèse, nous étudions les propriétés statistiques des systèmes dynamiques. Plus précisément, nous étudions si le comportement statistique asymptotique des orbites typiques via la convergence de la suite des mesures empiriques. Nous étudions également la stabilité du comportement asymptotique sous l’effet de perturbations de la dynamique au sein d’une famille. Ce mémoire comporte deux parties. Dans la première partie, nous relions ces deux études. La seconde partie est consacrée à la preuve de l’existence de dynamiques non statistiques dans l’espace des applications rationnelles de la sphère de Riemann. Une application est dite non statistique par rapport `a la mesure de référence, s’il existe un ensemble de mesure positive de points qui ont leur suite de mesures empiriques divergente. Dans la première partie, nous avons développé un cadre abstrait qui vise `a comprendre ce qui se cache derrière l’existence d’applications non statistiques dans une famille de dynamiques donnée. Dans cette partie de la thèse, nous étendons et formalisons le concept d’instabilité statistique dans un sens général, indépendant du comportement statistique de la dynamique, et nous montrons comment l’abondance d’applications statistiquement instables, dans une famille donnée de dynamiques, implique l’existence d’applications non statistiques dans cette famille. Nous proposons une autre application de cette formalisation, ainsi qu’un autre exemple de cartes non statistiques: les difféomorphismes Anosov-Katok non statistiques de l’anneau.