Spanning Forests and phase transition

Forêts couvrantes et transition de phase L'objectif de cette thèse est d'étudier un modèle de forêts couvrantes sur un graphe muni d'un fibré vectoriel et d'une connexion unitaire. Pour les fibrés de rang 1, les configurations, combinatoires, sont des forêts couvrantes d'unicycles aléatoires tirées selon une loi déterminantale. Pour les fibrés de rang quelconque, la collection aléatoire d'arêtes est remplacée par une collection aléatoire de sous-espaces des fibres. Pour une connexion périodique unitaire, nous établissons une formule intégrale pour le noyau du processus, mettant en évidence deux phases, caractérisées par le comportement asymptotique des corrélations à grande distance.Nous étudions par ailleurs des mesures de probabilités sur les forêts couvrantes d'unicycles sur des suites de graphes finis croissants, dépendant d'une fonction de poids sur les cycles. Nous montrons que sous certaines hypothèses sur la fonction de poids, la limite ne dépend pas des conditions au bord et peut être échantillonnée par un algorithme de marches aléatoires à boucles effacées. Sous d'autres hypothèses, nous prouvons des résultats sur la vitesse asymptotique de décroissance des corrélations avec la distance, et la taille des composantes connexes, qui s'appliquent en particulier au cas déterminantal.Nous formulons enfin une correspondance entre les fibrés de rang 2 complexes et les fibrés de rang 1 sur le corps des quaternions, et observons, pour une connexion quaternionique unitaire et périodique, deux phases selon l'aspect commutatif ou non des quaternions, l'une correspondant au modèle usuel de forêts couvrantes uniformes et l'autre correspondant à un modèle pour lequel certains unicycles finis sont observés une infinité de fois.