Blossoming bijections, multitriangulations : What about other surfaces?

Bijections bourgeonnantes, multitriangulations : quid des surfaces quelconques? Les cartes combinatoires sont des dessins de graphes sur des surfaces (orientable ou non), considérés à déformation près. On propose une méthode bijective de découpage d'une carte, appelée ouverture, qui à une carte associe une autre carte, dessinée sur la même surface, possédant une unique face, et munie de décorations supplémentaires appelées bourgeons. Cette construction généralise l'ouverture décrite pour le cas des cartes planaires dans [Sch97].Plusieurs travaux datant des années 90 ont permis de démontrer par des méthodes calculatoires poussées des propriétés concernant la série génératrice des cartes d'une surface donnée. En particulier, dans le cas d'une surface orientable, cette série peut s'écrire comme une fonction rationnelle d'une certaine série d'arbres. Ceci est valable que les cartes soient énumérées simplement par arêtes [BenCan91], ou également par sommets et faces [BenCanRic93]. Un résultat similaire plus faible peut également être exprimé dans le cas des cartes non orientables [AG00]. Ces propriétés de rationalité des séries génératrices de cartes expriment en fait des propriétés combinatoires structurelles fortes concernant les cartes elles-même, et la recherche d'une interprétation combinatoire de ces propriétés a été un moteur important du développement de la combinatoire bijective des cartes.L'utilisation de notre algorithme d'ouverture produit une carte qui peut à son tour être décomposée successivement en cartes plus petites munies de décorations additionnelles.Après une analyse approfondie des objets ainsi obtenus et de leur séries génératrices, ceci permet de démontrer combinatoirement les résultats de rationalité évoqués plus haut.Une k-triangulation d'un polygone fini est un ensemble maximal (pour l'inclusion) de diagonales, qui ne possède pas k+1 diagonales se croisant 2 à 2. On appelle k-étoile un ensemble de 2k+1 points et 2k+1 diagonales tel que chaque point est relié à ses deux points opposés. Les travaux de [PilSan07] ont permis de montrer qu'une k-triangulation peut être décomposée en un complexe de k-étoiles, et que les multitriangulations peuvent être obtenue l'une de l'autre par une succession d'opérations élémentaires appelées flips.Notre objectif est d'étendre ces résultats au cas des multitriangulations d'une surface quelconque. Dans cette optique, on commence par étudier une certaine classe de multitriangulations d'un polygone ayant un nombre infini de côtés, et à étendre à ce contexte les résultats principaux de [PilSan07]. En utilisant la construction classique du recouvrement universelle d'une surface quelconque, on espère ensuite pouvoir réduire l'étude d'une multitriangulations quelconque à celle d'une multitriangulation périodique d'un polygone infini, et on présente dans ce sens une ébauche de preuve, sous forme de plusieurs conjectures élémentaires.